Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Biết phương trình đường thẳng AB

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Bài 7 trang 99 Toán lớp 10 Hình học:

Lời giải:

Trực tâm H là giao điểm của BH và AH ⇒ tọa độ H là nghiệm của hệ:

$\begin{array}{l}5x-4y-15=0\\ 2x+2y-9=0\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{11}{3}\\ y=\frac{5}{6}\end{array}\Rightarrow H\left(\frac{11}{3};\frac{5}{6}\right)$

A là giao điểm của AB và AH nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{array}{l}4\mathrm{x}+\mathrm{y}-12=0\\ 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}-9=0\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{5}{2}\\ \mathrm{y}=2\end{array}\iff A(\frac{5}{2};2)$

B là giao điểm BH và AB nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:

$\begin{array}{l}4x+y-12=0\\ 5x-4y-15=0\end{array}\iff \begin{array}{l}x=3\\ y=0\end{array}\Rightarrow B\left(3;0\right)$

+ Ta có: AC ⊥ HB, mà HB có một VTPT là (5; – 4) ⇒ AC nhận (4; 5) là một VTPT

AC đi qua $A\left(\frac{5}{2};2\right)$

⇒ Phương trình đường thẳng AC: $4\left(x-\frac{5}{2}\right)+5\left(y-2\right)=0$ hay 4x + 5y – 20 = 0.

+ Lại có: CH ⊥ AB, AB có một VTPT là (4; 1) ⇒ CH nhận (1; – 4) là một VTPT

CH đi qua $H\left(\frac{11}{3};\frac{5}{6}\right)$

⇒ Phương trình đường thẳng CH: $1.\left(x-\frac{11}{3}\right)-4\left(x-\frac{5}{6}\right)=0$ hay CH: 3x – 12y – 1 = 0.

+ BC ⊥ AH , mà AH nhận (2; 2) là một VTPT

⇒ BC nhận (1; – 1) là một VTPT

BC đi qua B(3; 0)

⇒ Phương trình đường thẳng BC: 1(x – 3) – 1(y – 0) = 0 hay x – y – 3 = 0.