Cho tam giác đều ABC cạnh a. a) Cho M là một điểm trên đường tròn

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Bài 3 trang 99 Toán lớp 10 Hình học:

a) Cho M là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính MA² + MB² + MC² theo a.

b) Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên đường thẳng d sao cho NA² + NB² + NC² nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do tam giác ABC là tam giác đều nên O đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC.

Ta có:

$M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$

$={\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$

$={\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)}^2$

$=\left({\overrightarrow{MO}}^2+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^2\right)+\left({\overrightarrow{MO}}^2+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OB}+{\overrightarrow{OB}}^2\right)+\left({\overrightarrow{MO}}^2+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OC}+{\overrightarrow{OC}}^2\right)$

$=3{\overrightarrow{MO}}^2+2\overrightarrow{MO}.\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)+{\overrightarrow{OA}}^2+{\overrightarrow{OB}}^2+{\overrightarrow{OC}}^2$

$=3M{O}^2+O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2+2\overrightarrow{MO}.\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$

Lại có:

+ O là trọng tâm tam giác đều ABC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

$R=OA=OB=OC=MO=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Khi đó: $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$

$=3.\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{3}+2.0=2a^2$

b) Ta có: $N{A}^2+N{B}^2+N{C}^2$

$={\overrightarrow{NA}}^2+{\overrightarrow{NB}}^2+{\overrightarrow{NC}}^2$

$={\left(\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OC}\right)}^2$

$={\overrightarrow{NO}}^2+2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^2+{\overrightarrow{NO}}^2+2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OB}+{\overrightarrow{OB}}^2+{\overrightarrow{NO}}^2+2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OC}+{\overrightarrow{OC}}^2$

$=3{\overrightarrow{NO}}^2+2\overrightarrow{NO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)+{\overrightarrow{OA}}^2+{\overrightarrow{OB}}^2+{\overrightarrow{OC}}^2$

$=3N{O}^2+O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2$ (vì $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$)

$=3N{O}^2+3R^2$

Ta có: NA² + NB² + NC² ngắn nhất

⇔ NO² ngắn nhất vì R không đổi

⇔ NO ngắn nhất

⇔ N là hình chiếu của O trên d.