Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6cm. Một điểm M nằm trên cạnh BC

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Bài 4 trang 99 Toán lớp 10 Hình học:

a) Tính độ dài của đoạn thẳng AM và tính côsin của góc BAM;

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM;

c) Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh C của tam giác ACM;

d) Tính diện tích tam giác ABM.

Lời giải:

a) Do tam giác ABC là tam giác đều nên $\widehat{ABM}=60°$

Theo định lý côsin trong tam giác ABM ta có:

$A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2AB.BM.\cos \widehat{ABM}$

$=6^2+2^2-\mathrm{2.6.2.}\cos 60°$ = 28

$\Rightarrow AM=2\sqrt{7}$ (cm)

Áp dụng hệ quả của định lý cosin vào tam giác ABM ta có:

$\cos \widehat{BAM}=\frac{A{B}^2+A{M}^2-B{M}^2}{2.AB.AM}=\frac{6^2+28-2^2}{\mathrm{2.6.27}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}$

b) Theo định lý sin trong tam giác ABM ta có:

$\frac{AM}{\sin \widehat{ABM}}=2R$

$\Rightarrow R=\frac{AM}{2.\sin \widehat{ABM}}=\frac{2\sqrt{7}}{2\sin 60°}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$ (cm)

c) Ta có: BM + MC = BC nên MC = BC – BM = 6 – 2 = 4 cm.

Gọi D là trung điểm AM.

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có:

$C{D}^2=\frac{2\left(A{C}^2+C{M}^2\right)-A{M}^2}{4}=\frac{2\left(6^2+4^2\right)-28}{4}=19$

$\Rightarrow CD=\sqrt{19}$ (cm)

d) Ta có:

$S_{ABM}=\frac{1}{2}AB.BM.\sin \widehat{ABM}=\frac{1}{2}\mathrm{.6.2.}\sin 60°=3\sqrt{3}$ (cm²).