Cho elip (E) có phương trình x^2/100 + y^2/36 = 1

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Bài 9 trang 99 Toán lớp 10 Hình học: Cho elip (E) có phương trình: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$

a) Hãy xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip (E) và vẽ elip đó;

b) Qua tiêu điểm của elip dựng đường song song với Oy và cắt elip tại hai điểm M và N. Tính độ dài đoạn MN.

Lời giải:

a) (E): $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ có a = 10; b = 6 ⇒ c² = a² – b² = 64 ⇒ c = 8.

+ Tọa độ các đỉnh của elip là: A₁(– 10; 0); A₂(10; 0); B₁(0; – 6); B₂(0; 6)

+ Tọa độ hai tiêu điểm của elip: F₁(– 8; 0) và F₂(8; 0)

+ Vẽ elip:

b) Ta có: M $\in$ (E) ⇒ MF₁ + MF₂ = 2a = 20 (1)

MN // Oy ⇒ MN ⊥ F₁F₂ ⇒ MF₁² – MF₂² = F₁F₂² = (2c)² = 16² (định lý Pytago trong tam giác vuông MF₁F₂)

⇒ (MF₁ + MF₂).(MF₁ – MF₂) = 16²

⇒ MF₁ – MF₂ = 12,8 (Vì MF₁ + MF₂ = 20) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\begin{array}{l}M{F}_1+M{F}_2=20\\ M{F}_1+M{F}_2=12,8\end{array}$$\iff \begin{array}{l}M{F}_1=16,4\\ M{F}_2=3,6\end{array}$

Vậy MN = 2.MF₂ = 7,2.