Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc

Giải Toán 9 Bài tập ôn cuối năm 

Bài 5 trang 132 SGK Toán lớp 9 tập 2:

$\left(\frac{2+\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right).$$\frac{x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

Lời giải:

$\left(\frac{2+\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right).$$\frac{x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

(Điều kiện: $x\ge 0,x\ne 1$)

$=\left.\frac{2+\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right].\frac{x\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}$

$=$$\frac{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2\left(\sqrt{x}-1\right)}$$.\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-1\right)}{\sqrt{x}}$

$=\frac{x+\sqrt{x}-2-\left(x-\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-1\right)}.\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}$

$=\frac{x+\sqrt{x}-2-x+\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2$

Vậy giá trị của biểu thức đã cho luôn bằng 2 và không phụ thuộc cái giá trị của biến x.