Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

Bài 7.45 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng

A. $\frac{2}{3}$ .

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

D. $\frac{1}{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của CD.

Do tam giác ACD và BCD là tam giác đều nên AM $\perp$ CD và BM $\perp$ CD.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AM và BM, mà (AM,BM) = $\widehat{AMB}$.

Vì tam giác ACD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a nên AM = BM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABM có:

$cos\widehat{AMB}=\frac{A{M}^2+B{M}^2-A{B}^2}{2\cdot AM\cdot BM}$$=\frac{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-a^2}{2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}$$=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{3a^2}{2}}$$=\frac{1}{3}$.

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng $\frac{1}{3}$ .