Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD)

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

Bài 7.44 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng

A. $\frac{1}{3}$ .

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

D. $\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm của CD, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Khi đó AH $\perp$ (BCD).

Suy ra BH là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (BCD).

Khi đó góc giữa giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AB và BH, mà (AB,BH) = $\widehat{ABH}$ .

Vì tam giác BCD đều, BM là đường trung tuyến nên BM đồng thời là đường cao.

Do đó BM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra BH = $\frac{2}{3}$.BM = $\frac{2}{3}$.$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Xét tam giác ABH vuông tại H, có cos$\widehat{ABH}$ = $\frac{BH}{AB}$=$\frac{a\sqrt{3}}{3a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .