Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có góc BAC = 60 độ, AB = 2a, AC = 3a và số đo của góc nhị diện

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

Bài 7.54 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $\widehat{BAC}=60°$ , AB = 2a, AC = 3a và số đo của góc nhị diện [A', BC, A] bằng 45°.

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC).

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Lời giải:

a) Kẻ AH $\perp$ BC tại H.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên A'A $\perp$ (ABC), suy ra A'A $\perp$ BC mà AH $\perp$ BC nên BC $\perp$ (A'AH).

Kẻ AK $\perp$ A'H tại K, lại có BC $\perp$ AK (do BC $\perp$ (A'AH)) nên AK $\perp$ (A'CB).

Do đó d(A, (A'BC)) = AK.

Có BC $\perp$ (A'AH) nên BC $\perp$ A'H mà AH $\perp$ BC nên góc nhị diện [A', BC, A] bằng $\widehat{AH{A}^{\text{'}}}$ , suy ra $\widehat{AH{A}^{\text{'}}}=45°$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, có

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$- 2.AB.AC.cos$\widehat{BAC}$ = 4a²+9a²-2.2a.3a.cos60^o = 7a².

$\Rightarrow$BC = a$\sqrt{7}$.

Vì $S_{ABC}=\frac{AH\cdot BC}{2}$$\Rightarrow AH=\frac{S_{ABC}\cdot 2}{BC}$ $=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}}{BC}$

$=\frac{2a.3a.\sin {60}^o}{a\sqrt{7}}$ = $\frac{3\sqrt{21}}{7}a$.

Xét tam giác AHK vuông tại K, có AK = AH . sin45° = $\frac{3\sqrt{21}a}{7}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{42}a}{14}$ .

Vậy d(A, (A'BC)) = $\frac{3\sqrt{42}a}{14}$ .

b) Vì tam giác A'AH vuông tại A, $\widehat{AH{A}^{\text{'}}}=45°$ nên tam giác A'AH vuông cân tại A nên AA' = AH = $\frac{3\sqrt{21}}{7}a$.

Ta có: $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}\cdot$AA' = $\frac{1}{2}$.AB.AC.sin$\widehat{BAC}$.AA'

= $\frac{1}{2}$.2a.3a.sin60^o.$\frac{3\sqrt{21}a}{7}$= $\frac{27\sqrt{7}{a}^3}{14}$.