Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc

Bài 33 trang 105 SBT Toán 9 Tập 2:Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và $\widehat{A}=\alpha$ không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.

Lời giải:

Chứng minh thuận:

Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC

 $\widehat{IBC}=\frac{\widehat{B}}{2}$;$\widehat{ICB}=\frac{\widehat{C}}{2}$

 $\Rightarrow \widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}$

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={180}^o-\widehat{A}={180}^o-\alpha$

$\Rightarrow \widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{{180}^o-\alpha }{2}$

Xét tam giác BIC có:

$\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}={180}^o\Rightarrow \widehat{BIC}={180}^o-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)={180}^o-\frac{{180}^o-\alpha }{2}={90}^o+\frac{\alpha }{2}$

Do $\widehat{A}=\alpha$không đổi nên $\widehat{BIC}={90}^o+\frac{\alpha }{2}$không đổi

Vì I thay đổi tạo với hai đầu đoạn BC cố định một góc $\widehat{BIC}={90}^o+\frac{\alpha }{2}$không đổi

Do đó, I nằm trên cung chứa góc ${90}^o+\frac{\alpha }{2}$vẽ trên BC

Chứng minh đảo:

Trên cung chứa góc ${90}^o+\frac{\alpha }{2}$lấy điểm I’ bất kì.

Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm I’ hai tia Bx và Cy sao cho BI’ là phân giác của góc CBx, CI’ là phân giác của góc BCy.

Bx cắt Cy tại A’

Xét tam giác BI’C có:

$\widehat{BI\text{'}C}={90}^o+\frac{\alpha }{2}$

$\Rightarrow \widehat{I\text{'}BC}+\widehat{I\text{'}CB}={180}^o-\widehat{BI\text{'}C}={180}^o-\left({90}^o+\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{{180}^o-\alpha }{2}$

Mà ta có: $\widehat{CBA\text{'}}=2\widehat{I\text{'}BC}$;$\widehat{BCA\text{'}}=2\widehat{I\text{'}CB}$ (do BI’ là phân giác của góc CBx, CI’ là phân giác của góc BCy)

$\Rightarrow \widehat{CBA\text{'}}+\widehat{BCA\text{'}}=2.\frac{{180}^o-\alpha }{2}={180}^o-\alpha$

Xét tam giác A’BC ta có:

$\widehat{BA\text{'}C}={180}^o-\left(\widehat{CBA\text{'}}+\widehat{BCA\text{'}}\right)={180}^o-\left({180}^o-\alpha \right)=\alpha$

Vậy quỹ tích giao điểm ba đường phân giác trong tam giác ABC có $\widehat{A}=\alpha$không đổi, BC cố định là hai cung chứa góc ${90}^o+\frac{\alpha }{2}$vẽ trên BC.