Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc

Bài 37 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2:Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.

Lời giải:

Chứng minh thuận:

Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại P.

Vì O cố định, đường tròn đường kính AB cố định nên P cố định. Nối PD

Ta có: OP // CH (vì hai đường thẳng cùng vuông góc với AB)

Xét tam giác OCH và tam giác POD có:

CH = OD

 $\widehat{OCH}=\widehat{POD}$ (do OP // CH- cmt)

OC = PO (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác OCH và tam giác POD bằng nhau (cạnh – góc – cạnh)

$\Rightarrow \widehat{ODP}=\widehat{CHO}$

Mà $\widehat{CHO}={90}^o$nên $\widehat{ODP}={90}^o$

Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D thay đổi tạo với hai đầu đọa thẳng OP cố định một góc $\widehat{ODP}={90}^o$. Vậy D chuyển động trên đường tròn đường kính OP.

Chứng minh đảo:

Lấy điểm D’ bất kỳ trên đường tròn đường kính OP. Kẻ OD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C’, kẻ $C\text{'}H\text{'}\perp AB$ta cần chứng minh OD’ = C’H’

Do PO vuông góc với AB và C’H’ vuông góc với AB nên PO // C’H’

Nối PD’.

Xét tam giác C’H’O và tam giác PD’O có:

$\widehat{C\text{'}H\text{'}O}=\widehat{PD\text{'}O}={90}^o$

OC’ = OP (bán kính đường tròn tâm O)

 $\widehat{D\text{'}OP}=\widehat{OC\text{'}H\text{'}}$ (do PO // C’H’)

Do đó, tam giác C’H’O bằng tam giác PD’O (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow$C’H’ = OD’

Vậy quỹ tích điểm các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP.