Anonymous

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong

- asked 6 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc

Bài 6.3 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.

Lời giải:

Xét tam giác ABC

Lấy điểm M ngẫu nhiên. Nối MA, MB, MC.

Ta cần làm xuất hiện tổng MA + MB + MC sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.

Lấy MC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A tam giác đều MCN

Lấy AC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B tam giác đều APC. Khi đó CA = CP.

Ta có:

$\hat{M C A} + \hat{A C N} = \hat{M C N} = 60^{o}$ (do MCN là tam giác đều)

$\hat{A C N} + \hat{N C P} = \hat{A C P} = 60^{o}$ (do ACP là tam giác đều)

$\Rightarrow \hat{M C A} = \hat{N C P}$

Xét tam giác AMC và tam giác PNC

CM = CN (do MCN là tam giác đều)

$\hat{M C A} = \hat{N C P}$ (chứng minh trên)

CA = CP (do ACP là tam giác đều)

Do đó, tam giác AMC và tam giác PNC bằng nhau (cạnh – góc – cạnh)

$\Rightarrow$ PN = AM

$\Rightarrow$ MA + MB + MC = NP + MP + MN

Tam giác ABC cho trước có điểm P cố định nên BM + MN + NP ngắn nhất khi B, M, N, P thẳng hàng

Vì $\hat{C M N} = 60^{o}$ nên ba điểm B, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi $\hat{B M C} = 120^{o}$

Vì $\hat{C N M} = 60^{o}$ nên ba điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi $\hat{C N P} = 120^{o}$

Mà tam giác AMC bằng tam giác PNC (cmt) $\Rightarrow \hat{A M C} = \hat{P N C} = 120^{o}$

Vậy MA + MB + MC bé nhất khi và chỉ khi $\hat{B M C} = \hat{A M C} = 120^{o}$

Vậy M là giao điểm của hai cung chứa góc 120° dựng trên BC và AC thì MA + MB + MC nhỏ nhất.