Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc

Bài 6.3 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.

Lời giải:

Xét tam giác ABC

Lấy điểm M ngẫu nhiên. Nối MA, MB, MC.

Ta cần làm xuất hiện tổng MA + MB + MC sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.

Lấy MC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A tam giác đều MCN

Lấy AC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B tam giác đều APC. Khi đó CA = CP.

Ta có:

 $\widehat{MCA}+\widehat{ACN}=\widehat{MCN}={60}^o$ (do MCN là tam giác đều)

$\widehat{ACN}+\widehat{NCP}=\widehat{ACP}={60}^o$(do ACP là tam giác đều)

$\Rightarrow \widehat{MCA}=\widehat{NCP}$

Xét tam giác AMC và tam giác PNC

CM = CN (do MCN là tam giác đều)

$\widehat{MCA}=\widehat{NCP}$(chứng minh trên)

CA = CP (do ACP là tam giác đều)

Do đó, tam giác AMC và tam giác PNC bằng nhau (cạnh – góc – cạnh)

 $\Rightarrow$PN = AM

 $\Rightarrow$MA + MB + MC = NP + MP + MN

Tam giác ABC cho trước có điểm P cố định nên BM + MN + NP ngắn nhất khi B, M, N, P thẳng hàng

Vì  $\widehat{CMN}={60}^o$nên ba điểm B, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi $\widehat{BMC}={120}^o$

Vì  $\widehat{CNM}={60}^o$nên ba điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi $\widehat{CNP}={120}^o$

Mà tam giác AMC bằng tam giác PNC (cmt) $\Rightarrow \widehat{AMC}=\widehat{PNC}={120}^o$

Vậy MA + MB + MC bé nhất khi và chỉ khi $\widehat{BMC}=\widehat{AMC}={120}^o$

Vậy M là giao điểm của hai cung chứa góc 120° dựng trên BC và AC thì MA + MB + MC nhỏ nhất.