Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc

Bài 36 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2:Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB.

a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.

b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.

Lời giải:

a)

Chứng minh thuận

Ta có: $\widehat{ACB}={90}^o$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 $\Rightarrow \widehat{BCD}={90}^o$(kề bù)

Xét tam giác BCD có:

 $\widehat{BCD}={90}^o$(cmt)

CD = CB (gt)

Do đó, tam giác BCD vuông cân tại C

$\Rightarrow \widehat{CDB}=\widehat{ADB}={45}^o$

AB cố định. Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc ${45}^o$dựng trên đoạn thẳng AB cố định.

Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB

Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn .Khi C trùng với B thì D cũng trùng với B. Vậy B là điểm của quỹ tích

Dây AC nhỏ nhất có độ dài bằng 0 khi C trùng với A.Khi đó D trùng với B’ là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc 45° vẽ trên AB.

Chứng minh đảo:

Lấy điểm D’ bất kì trên cung lớn AB, nối AD’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’. Nối BC’, B’D’.

Ta có:  $\widehat{AD\text{'}B}={45}^o$(vì D’ nằm trên cung chứa góc 45° vẽ trên AB)

Xét đường tròn đường kính AB có:

 $\widehat{AC\text{'}B}={90}^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 $\Rightarrow \widehat{BC\text{'}D\text{'}}={90}^o$ (kề bù)

Xét tam giác tam giác BC’D’ có:

$\widehat{AD\text{'}B}=\widehat{C\text{'}D\text{'}B}={45}^o$

$\widehat{BC\text{'}D\text{'}}={90}^o$

Do dó, tam giác BC’D’ vuông cân tại C’

$\Rightarrow$C’B = C’D’

Vậy quỹ tích điểm các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung BB’ nằm trên cung chứa góc 45° vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C.

b)

Chứng minh thuận:

Xét đường tròn đường kính AB có:

Ta có:  $\widehat{ACB}={90}^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác CBE có:

$\widehat{ACB}=\widehat{ECB}={90}^o$

CB = CE (gt)

Do đó, tam giác CBE vuông cân tại C

$\Rightarrow \widehat{CEB}={45}^o$

Mà: $\widehat{CEB}+\widehat{AEB}={180}^o$(hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{AEB}={135}^o$

Khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB cố định thì E chuyển động trên cung chứa góc 135° dựng trên đoạn thẳng AB cố định.

Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn thì C trùng với B nên E cũng trùng với B.vậy B là một điểm của quỹ tích

Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A. khi đó E trùng với A nên A là một điểm của quỹ tích.

Vậy E chuyển động trên cung chứa góc 135° vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C.

Chứng minh đảo:

Lấy điểm E’ bất kì trên cung chứa góc 135°, nối AE’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’. Nối BE’, B’C’.

Ta có: $\widehat{AE\text{'}B}={135}^o$(vì E’ nằm trên cung chứa góc vẽ trên AB)

Lại có: $\widehat{AE\text{'}B}+\widehat{BE\text{'}C}={180}^o$(hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{BE\text{'}C\text{'}}={180}^o-\widehat{AE\text{'}B}={180}^o-{135}^o={45}^o$

Xét đường tròn đường kính AB ta có:

 $\widehat{AC\text{'}B}={90}^o$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác E’C’B có:

 $\widehat{E\text{'}C\text{'}B}=\widehat{AC\text{'}B}={90}^o$ (cmt)

 $\widehat{BE\text{'}C\text{'}}={45}^o$ (cmt)

Do đó, tam giác E’C’B vuông cân tại C’

$\Rightarrow C\text{'}E\text{'}=C\text{'}B$

Quỹ tích điểm các điểm E khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung chứa góc 135° vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C.