Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A (khác O) ở trong đường tròn đó

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc

Bài 6.2 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2:Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A (khác O) ở trong đường tròn đó. Một đường thẳng d thay đổi, luôn đi qua A, cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là B và C. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng BC.

Lời giải:

Chứng minh thuận:

Đường tròn (O) cho trước, điểm A cố định nên OA có độ dài không đổi

Xét tam giác OBC có:

OB = OC (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác OBC cân tại O

Mà IB = IC (gt)

Do đó, I là trung điểm của BC nên OI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

 $\Rightarrow OI\perp BC$ tại I

$\Rightarrow \widehat{OIA}={90}^o$

Đường thẳng d thay đổi nên B, C thay đổi thì I thay đổi tạo với hai đầu đoạn OA cố định góc $\widehat{OIA}={90}^o$. Vậy I chuyển động trên đường tròn đường kính OA

Chứng minh đảo:

Lấy điểm I’ bất kỳ trên đường tròn đường kính AO. Đường thẳng AI’ cắt đường tròn (O) tại hai điểm B’ và C’ .

Ta chứng minh: I’B’ = I’C’

Trong đường tròn đường kính AO có:  $\widehat{OI\text{'}A}={90}^o$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 $\Rightarrow OI\text{'}\perp B\text{'}C\text{'}$ tại I’

$\Rightarrow$I’B’ = I’C’ (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó)

Vậy quỹ tích các điểm I là trung điểm của dây BC của đường tròn tâm O khi BC quay xung quanh điểm A cố định là đường tròn đường kính AO.