Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi I là giao điểm của AD

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Bài 51 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2:Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh: DI² = AI.AD.

Hướng dẫn. Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều ABCDE rồi xét hai tam giác đồng dạng AIE và AED.

Lời giải:

Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều ABCDE

sđ$\stackrel{⏜}{AB}$= sđ$\stackrel{⏜}{BC}$= sđ$\stackrel{⏜}{CD}$= sđ$\stackrel{⏜}{DE}$= sđ$\stackrel{⏜}{AE}$=$\frac{{360}^o}{5}$ =${72}^o$ (1)

Ta có:

 $\widehat{E_1}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$(tính chất góc nội tiếp) (2)

$\widehat{D_1}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{AE}$(tính chất góc nội tiếp) (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra $\widehat{E_1}=\widehat{D_1}$

Xét tam giác AIE và tam giác AED có: $\widehat{E_1}=\widehat{D_1}$

Góc A chung

Do đó, tam giác AIE và tam giác AEDđồng dạng (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{AI}{AE}=\frac{AE}{AD}$

 $\Rightarrow A{E}^2=AI.AD$(*)

Lại có:

$\widehat{E_2}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{BCD}$(tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{E_2}=\frac{1}{2}$(sđ$\stackrel{⏜}{BC}$+ sđ$\stackrel{⏜}{CD}$) (4)

$\widehat{I_1}=\frac{1}{2}$( sđ$\stackrel{⏜}{DE}$+ sđ$\stackrel{⏜}{AB}$) (tính chất góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) (5)

Từ (1), (4), (5) ta suy ra: $\widehat{E_2}=\widehat{I_1}$

Do đó, tam giác DEI cân tại D

$\Rightarrow DE=DI$

Mà DE = AE (gt)

 $\Rightarrow DI=AE$(**)

Từ (*) và (**) ta suy ra: $D{I}^2=AI.AD$.