Cho một đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Bài 46 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2:Cho một đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a. Hãy tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp đa giác đều đó.

Hướng dẫn: Tính $\widehat{COB}$rồi tính $\sin \widehat{COB}$và $\tan \widehat{COB}$, từ đây tính được R và r.

Lời giải:

Giả sử một đa giác đều n cạnh có độ dài một cạnh là a.

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r bán kính đường tròn nội tiếp

$\Rightarrow OB=R;OC=r$

Có: $\widehat{AOB}=\frac{{360}^o}{n}$

$\Rightarrow \widehat{COB}=\frac{{360}^o}{n}:2=\frac{{180}^o}{n}$

Tam giác OAB cân tại O (do OA = OB = R) nên OC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến. Do đó, C là trung điểm của AB nên CB = $\frac{a}{2}$.

Xét tam giác OCB có:$\widehat{OCB}={90}^o$

$\sin \widehat{COB}=\frac{CB}{OB}=\frac{\frac{a}{2}}{R}=\frac{a}{2R}$

$\Rightarrow 2R=\frac{a}{\sin \frac{{180}^o}{n}}$

$\Rightarrow R=\frac{a}{2.\sin \frac{{180}^o}{n}}$

Xét tam giác OCB vuông tại C, ta có:

$\tan \widehat{COB}=\frac{CB}{OC}=\frac{\frac{a}{2}}{r}=\frac{a}{2r}$

$\Rightarrow 2r=\frac{a}{\tan \frac{{180}^o}{n}}$

$\Rightarrow r=\frac{a}{2.\tan \frac{{180}^o}{n}}$