Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông

Bài 31 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $K$ sao cho $BC=CK$. Từ điểm $B$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt tia $DC$ tại $E$. Gọi $F$ là trung điểm của $BE$.

a) Chứng minh các tứ giác $BOCF$ và $BDKE$ đều là hình vuông.

b) Tứ giác $CDOF$ có thể là hình vuông không? Vì sao?

Lời giải:

a) Tứ giác $ABCD$ là hình vuông suy ra $\widehat{ACB}={45}^{\circ },OB=OC,\widehat{BOC}=\widehat{DOC}={90}^{\circ }$.

Ta có: $\widehat{BOF}=\widehat{DOC}$ (hai góc đồng vị) nên $\widehat{OBF}={90}^{\circ };\widehat{CBE}=\widehat{ACB}$ (hai góc so le trong) nên $\widehat{CBE}={45}^{\circ }$.

Từ đó ta chứng minh được tam giác $BDE$ vuông cân tại $B$ và tam giác $BCE$ vuông cân tại $C$. Suy ra $BD=BE$ và $BC=EC$.

$\mathrm{\Delta }BCF=\mathrm{\Delta }ECF$ (c.c.c). Suy ra ta tính được $\widehat{BFC}=\widehat{EFC}={90}^{\circ }$

Tứ giác $BOCF$ có $\widehat{BOC}=\widehat{OBF}=\widehat{BFC}={90}^{\circ }$ nên $BOCF$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $BOCF$ có $OB=OC$ nên $BOCF$ là hình vuông.

Ta có: $BC=CD$ và $BC=CE$ nên $CD=CE$.

Tứ giác $BDKE$ có hai đường chéo $BK$ và $DE$ cắt nhau tại trung điểm $C$ của mỗi đường nên $BDKE$ là hình bình hành.

Hình bình hành $BDKE$ có $\widehat{DBE}={90}^{\circ }$nên $BDKE$ là hình chữ nhật

Hình chữ nhật $BDKE$ có $BD=BE$ nên $BDKE$ là hình vuông

b) Tứ giác $CDOF$ có $\widehat{ODC}={45}^{\circ }$ nên $CDOF$ không thể là hình vuông.