Cho hình vuông ABCD với tâm O và có cạnh bằng 2 cm. Hai tia Ox, Oy tạo thành góc vuông

Giải SBT Toán 8 Bài 14: Hình thoi và hình vuông

Bài 3.26 trang 42 SBT Toán 8 Tập 1:Cho hình vuông ABCD với tâm O và có cạnh bằng 2 cm. Hai tia Ox, Oy tạo thành góc vuông. Tính diện tích của phần hình vuông nằm bên trong góc xOy.

Lời giải:

Tia Ox phải cắt một cạnh của hình vuông, giả sử Ox cắt cạnh AB tại M.

• Khi M trùng với A hay B thì tia Oy phải qua một đỉnh của hình vuông và dễ thấy phần hình vuông nằm trong góc xOy là một phần tư của hình vuông.

• Khi M nằm giữa A và B thì tia Oy phải cắt cạnh BC hoặc cạnh AD; giả sử Oy cắt BC tại N thì N nằm giữa B và C.

Do ABCD là hình vuông nên AC và BD là các đường phân giác các góc của hình vuông, BD ⊥ AC.

Suy ra $\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$ (cùng phụ với $\widehat{MBO}$)

Ta có: $\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=90°$, $\widehat{NOB}+\widehat{MOB}=90°$

Suy ra $\widehat{MOA}=\widehat{NOB}$

Xét ∆OAM và ∆OBN có:

$\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$ ; OA = OB; $\widehat{MOA}=\widehat{NOB}$

Do đó ∆OAM = ∆OBN (g.c.g), nên hai tam giác này có cùng diện tích.

Ta có: diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy là diện tích tứ giác OMBN

Mà S_OMBN = S_OBM + S_OBN; S_OAB = S_OAM + S_OBM

Suy ra S_OMBN = S_OAB

Tức diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy bằng $\frac{1}{4}$ diện tích hình vuông.

• Cũng lập luận tương tự khi N nằm giữa A và D.

Vậy trong mọi trường hợp diện tích cần tìm bằng $\frac{1}{4}\cdot 2^2=1\left({\text{cm}}^2\right)$.