Cho hình thoi ABCD có AB = 2cm, góc A =1/2 góc B. Các điểm H, K thay đổi lần lượt

a) Chứng minh $DH+DK$ không đổi

b) Xác định vị trí của các điểm $H,K$ để độ dài $HK$ ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.

Lời giải:

a) Do $ABCD$ là hình thoi nên $AB=DA=2cm,\widehat{ABD}=\widehat{CDB}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$, suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}$. Do đó tam giác $ABD$ cân tại $D$. Suy ra $DA=DB$.

Mà $AB=DA$, suy ra $AB=DA=DB$.

$\mathrm{\Delta }ABH=\mathrm{\Delta }DBK$ (g.c.g). Suy ra $AH=DK$. Do đó $DH+DK=DH+AH=AD$.

Vậy $DH+DK$ không đổi

b) Do $\mathrm{\Delta }ABH=\mathrm{\Delta }DBk$ nên $BH=BK$.

Tam giác $BHK$ có $BH=BK$ và $\widehat{HBK}={60}^{\circ }$ nên tam giác $BHK$ là tam giác đều.

Suy ra $HK=BH=BK$.

Do đó, độ dài $HK$ ngắn nhất khi $BH$ và $BK$ ngắn nhất. Vậy $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $B$ trên $AD,CD$.

Khi đó $\mathrm{\Delta }ABH=\mathrm{\Delta }DBH$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $AH=DH=\frac{AD}{2}=1cm$

Trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có: $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$. Suy ra ta tính được $BH=\sqrt{3}cm$. Vậy độ dài ngắn nhất của $HK$ là $\sqrt{3}$ cm.