Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, trong đó O’ nằm trên đường tròn (O)

Giải SBT Toán 9 Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài 69 trang 168 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, trong đó O’ nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O’OC của đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng CA, CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O’)

b) Đường vuông góc với AO’ tại O’ cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O’B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng.

Lời giải:

 a)

Tam giác AO’C nội tiếp trong đường tròn (O) có O’C là đường kính nên $\widehat{O\text{'}AC}={90}^o$

$\Rightarrow CA\perp O\text{'}A$ tại A

Do đó, CA là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Tam giác BO’C nội tiếp trong đường tròn (O) có O’C là đường kính nên

$\widehat{O\text{'}BC}={90}^o\Rightarrow CB\perp O\text{'}B$ tại B

Do đó, CB là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

b)

Trong đường tròn (O’) ta có AC và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên CO’ là tia phân giác của góc ACB

$\Rightarrow \widehat{ACO\text{'}}=\widehat{BCO\text{'}}$

Mà O’I vuông góc với O’A tại O, CA vuông góc với O’A tại A

Do đó, O’I //  CA

$\Rightarrow \widehat{ACO\text{'}}=\widehat{CO\text{'}I}$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{BCO\text{'}}=\widehat{CO\text{'}I}$

Do đó tam giác CIO’ cân tại I

$\Rightarrow IC=IO\text{'}$

Khi đó I nằm trên đường trung trực của O’C

Ta lại có:

 $\widehat{AO\text{'}C}=\widehat{BO\text{'}C}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$KC\perp CA$ tại C

$O\text{'}A\perp AC$ tại A

Do đó, KC // O’A

$\Rightarrow \widehat{AO\text{'}C}=\widehat{O\text{'}CK}$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{O\text{'}CK}=\widehat{KO\text{'}C}$

Do đó, tam giác CKO’ cân tại K

$\Rightarrow KC=KO\text{'}$

Khi đó K nằm trên đường trung trực của O’C

Mặt khác: OC = OO’ (= R)

Suy ra O, I, K nằm trên đường trung trực của O’C

Vậy O, I, K thẳng hàng.