Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B

Giải SBT Toán 9 Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài 70 trang 168 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) AB $\perp$ KB

b) Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn

Lời giải:

a)

Gọi H là giao điểm của AB và OO’

Vì OO’ là đường trung trực của AB nên OO’ $\perp$ AB tại H (do nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là trung trực của dây chung.)

Ta có: HA = HB

I là trung điểm của OO’ nên IH $\perp$ AB (1)

Xét tam giác ABK, ta có:

HA = HB (chứng minh trên)

IA = IK (tính chất đối xứng tâm)

Do đó IH là đường trung bình của tam giác ABK

$\Rightarrow$ IH // BK   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB $\perp$ KB

b)

Vì AB $\perp$ KB nên AE $\perp$ KB

Lại có: AB = BE (tính chất đối xứng tâm)

$\Rightarrow$ KA = KE (tính chất đường trung trực) (3)

Ta có:

IO = IO’ (theo đề bài)

IA = IK (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác AOKO’ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

$\Rightarrow$ OK // O’A và OA // O’K

Có: CA $\perp$ O’A (vì CA là tiếp tuyến của đường tròn (O’))

OK // O’A (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ OK $\perp$ AC

Khi đó OK là đường trung trực của AC

 KA = KC (tính chất đường trung trực)     (4)

DA $\perp$ OA (vì DA là tiếp tuyến của đường tròn (O))

O’K // OA (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ O’K $\perp$ DA

Khi đó O’K là đường trung trực của AD

$\Rightarrow$ KA = KD (tính chất đường trung trực) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: KA = KC = KE = KD

Vậy bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn.