Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n (m ≠ 2)

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Ôn tập chương 2 

Bài 35 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Tìm các giá trị của m và n trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2), B(3; -4);

b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - $\sqrt{2}$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 + $\sqrt{2}$.

c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng

y = $\frac{1}{2}$x - $\frac{3}{2}$ ;

d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng

y = $\frac{-3}{2}$x + $\frac{1}{2}$;

e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng

y = 2x – 3.

Lời giải:

a) Đường thẳng y = (m – 2)x + n (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3; -4). Khi đó tọa độ các điểm A, B thỏa mãn (d), nghĩa là:

$\begin{array}{l}2=\left(m-2\right)\left(-1\right)+n\\ -4=\left(m-2\right).3+n\end{array}\iff \begin{array}{l}2=-m+2+n\\ -4=3m-6+n\end{array}\iff \begin{array}{l}-m+n=0\\ 3m+n=2\end{array}\iff \begin{array}{l}m=n\text{ (1)}\\ 3m+n=2\text{ (2)}\end{array}$

Lấy (1) thay vào (2) ta được:

3m + m = 2

$\iff 4m=2\iff m=2:4=\frac{1}{2}\Rightarrow n=\frac{1}{2}$

Vậy khi m = n = $\frac{1}{2}$ thì (d) đi qua hai điểm A và B đã cho.

b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - $\sqrt{2}$ nên (d) đi qua điểm $\left(0;1-\sqrt{2}\right)$.

Thay x = 0; y = 1 - $\sqrt{2}$ ta có:

1 - $\sqrt{2}$= (m – 2).0 + n

$\iff$ n = 1 - $\sqrt{2}$.

Thay n = 1 - $\sqrt{2}$ vào đường thẳng (d) ta được: y = (m – 2)x + 1 - $\sqrt{2}$

Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 +  nên (d) đi qua điểm $\left(2+\sqrt{2};0\right)$ thay x = $2+\sqrt{2}$ và y = 0 vào (d) ta được:

$0=\left(m-2\right)\left(2+\sqrt{2}\right)+1-\sqrt{2}\iff \sqrt{2}-1=\left(m-2\right)\left(2+\sqrt{2}\right)\iff m-2=\frac{\sqrt{2}-1}{2+\sqrt{2}}\iff m=\frac{\sqrt{2}-1}{2+\sqrt{2}}+2\iff m=\frac{\sqrt{2}-1+4+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\iff m=\frac{3\sqrt{2}+3}{2+\sqrt{2}}\iff m=\frac{3\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)}\iff m=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Vậy khi n = $1-\sqrt{2}$ và m = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - $\sqrt{2}$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là $2+\sqrt{2}$

c) Ta có: y = $\frac{1}{2}$x – $\frac{3}{2}$. (d₁)

Đường thẳng (d) cắt (d₁) khi

m – 2 ≠ $\frac{1}{2}$, còn n lấy giá trị tùy ý.

Ta có: m – 2 $\ne \frac{1}{2}$

$\iff m\ne 2+\frac{1}{2}\iff m\ne \frac{5}{2}$

Vậy (d) cắt (d₂) khi m ≠ $\frac{5}{2}$ còn n tùy ý.

d) Ta có: y = $\frac{-3}{2}$x + $\frac{1}{2}$. (d₂)

Đường thẳng (d): y = (m – 2)x + n song song với (d₂) khivà chỉ khi

$\begin{array}{l}m-2=\frac{-3}{2}\\ n\ne \frac{1}{2}\end{array}\iff \begin{array}{l}m=2-\frac{3}{2}\\ n\ne \frac{1}{2}\end{array}\iff \begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ n\ne \frac{1}{2}\end{array}$

Vậy (d) song song với (d₂)

khi m = $\frac{1}{2}$ và n ≠ $\frac{1}{2}$.

e) Ta có: y = 2x – 3 (d₃)

Đường thẳng (d) trùng với (d₃) khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}m-2=2\\ n=-3\end{array}\iff \begin{array}{l}m=2+2\\ n=-3\end{array}\iff \begin{array}{l}m=4\\ n=-3\end{array}$

Vậy khi m = 4 và n = -3 thì hai đường thẳng (d) và (d₃) trùng nhau.