Bài 2 trang 57 Toán 8 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

Bài 2 trang 57 Toán 8 Tập 2:Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4 cm, CD = 6 cm. Đường thẳng d song song với hai đáy và cắt hai cạnh bên AD, BC của hình thang đó lần lượt tại M, N; cắt đường chéo AC tại P.

a) Chứng minh $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MD}}=\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{NC}};$

b) Tính độ dài các đoạn thẳng MP, PN, MN; biết rằng MD = 2MA.

Lời giải:

a) Do d // CD, mà M, N, P ∈ d nên MP // CD, PN // CD, MN // CD

Do ABCD là hình thang nên AB // CD, do đó PN // AB

Xét ∆ADC với MP // CD, ta có $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MD}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}$ (định lí Thalès) (1)

Xét ∆ABC với PN // AB, ta có $\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}=\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{NC}}$ (định lí Thalès) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MD}}=\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{NC}}\left(=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}\right).$

b) ⦁Do MD = 2MA nên $\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MD}}=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MD}+\mathrm{MA}}=\frac{1}{2+1}$ hay $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{3}.$

⦁Xét ∆ADC với MP // CD, ta có $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{DC}}$ (hệ quả định lí Thalès)

Suy ra $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{3}.$ Do đó $\mathrm{MP}=\frac{\mathrm{DC}}{3}=\frac{6}{3}=2\left(\text{cm}\right).$

⦁ Tương tự, xét ∆ABC vớiPN // AB, ta có $\frac{\mathrm{CN}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{AB}}$ (hệ quả định lí Thalès)

Mà $\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3}$ hay $\frac{\mathrm{AC}-\mathrm{CP}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3},$ do đó $1-\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3}$ nên $\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{AC}}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$

Khi đó $\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{AC}}=\frac{2}{3}$ nên $\mathrm{PN}=\frac{2}{3}\mathrm{AB}=\frac{2}{3}\cdot 4=\frac{8}{3}\left(\text{cm}\right).$

Ta có: $\mathrm{MN}=\mathrm{MP}+\mathrm{PN}=2+\frac{8}{3}=\frac{14}{3}\left(\text{cm}\right).$