Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau: a) un = n^2 + n + 1

Giải SBT Toán 11 Bài 5: Dãy số

Bài 2.2 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:

a) u_n = n² + n + 1;

b) $u_n=\frac{2n+5}{n+2}$;

c) $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n^2+1}$.

Lời giải:

a) Ta có u_{n + 1} – u_n = [(n + 1)² + (n + 1) + 1] – (n² + n + 1)

                             = n² + 2n + 1 + n + 1 + 1 – n² – n – 1

                             = 2n + 2 > 0, ∀ n ≥ 1.

Do đó, u_{n + 1} > u_n ∀ n ≥ 1. Vậy (u_n­) là dãy số tăng.

b) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2\left(n+1\right)+5}{n+1+2}-\frac{2n+5}{n+2}$$=\frac{2n+7}{n+3}-\frac{2n+5}{n+2}$

          $=\frac{\left(2n+7\right)\left(n+2\right)-\left(2n+5\right)\left(n+3\right)}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$$=\frac{-1}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}<\mathrm{0,}\forall n\ge 1$.

Do đó, u_{n + 1} < u_n ∀ n ≥ 1. Vậy (u_n­) là dãy số giảm.

c) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1-1}}{{\left(n+1\right)}^2+1}-\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n^2+1}$$=\frac{{\left(-1\right)}^n}{{\left(n+1\right)}^2+1}+\frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2+1}$

                            $={\left(-1\right)}^n\left(\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2+1}+\frac{1}{n^2+1}\right)$.

Vì $\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2+1}+\frac{1}{n^2+1}>0\forall n\ge 1$ nên hiệu u_{n + 1} – u_n dương hay âm phụ thuộc vào n, cụ thể là dương khi n chẵn và âm khi n lẻ.

Do đó, dãy số (u_n) không tăng cũng không giảm.