Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) un=n/2n+1

Giải SBT Toán 11 Bài 5: Dãy số

Bài 2.3 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $u_n=\frac{n}{2n+1}$;

b) u_n = n² + n – 1;

c) u_n = – n² + 1.

Lời giải:

a) Ta có $u_n=\frac{n}{2n+1}\ge \frac{1}{3}\forall n\ge 1$.

Lại có $u_n=\frac{n}{2n+1}=\frac{\frac{1}{2}\left(2n+1\right)-\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\left(2n+1\right)}$. Suy ra $u_n\le \frac{1}{2}\forall n\ge 1$.

Do đó $\frac{1}{3}\le u_n\le \frac{1}{2}\forall n\ge 1$. Vậy (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Ta có n – 1 ≥ 0 với mọi n ≥ 1 và n² ≥ 0 với mọi n.

Do đó, u_n = n² + n – 1 ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 1 với mọi n ≥ 1.

c) Ta có u_n = – n² + 1 < 1 với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên bởi 1 với mọi n ≥ 1.