Để tính xấp xỉ giá trị căn p, người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau

Giải SBT Toán 11 Bài 5: Dãy số

Bài 2.4 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Để tính xấp xỉ giá trị $\sqrt{p}$, người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau:

u₁ = k, $u_n=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{p}{u_{n-1}}\right)$ với n ≥ 2,

ở đó k là một giá trị dự đoán ban đầu của $\sqrt{p}$.

Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính u₅ và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị tính bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).

a) $\sqrt{5}$ (lấy k = 3);

b) $\sqrt{8}$ (lấy k = 3).

Lời giải:

a) Với p = 5 thì $\sqrt{5}$≈ 2,23607. Nếu ta chọn u₁ = 3 thì ta có:

u₁ = 3

$u_2=\frac{1}{2}\left(u_1+\frac{5}{u_1}\right)=\frac{1}{2}\left(3+\frac{5}{3}\right)$≈ 2,3333

$u_3=\frac{1}{2}\left(u_2+\frac{5}{u_2}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{2,3333}+\frac{5}{\mathrm{2,3333}}\right)$≈  2,2381

$u_4=\frac{1}{2}\left(u_3+\frac{5}{u_3}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{2,2381}+\frac{5}{\mathrm{2,2381}}\right)$≈  2,2361

$u_5=\frac{1}{2}\left(u_4+\frac{5}{u_4}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{2,2361}+\frac{5}{\mathrm{2,2361}}\right)$≈  2,2361

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,2361 – 2,23607 = 0,00003.

b) Với p = 8 thì $\sqrt{8}$ ≈ 2,82843. Nếu ta chọn u₁ = 3 thì ta có:

u₁ = 3

$u_2=\frac{1}{2}\left(u_1+\frac{8}{u_1}\right)=\frac{1}{2}\left(3+\frac{8}{3}\right)$≈ 2,8333

$u_3=\frac{1}{2}\left(u_2+\frac{8}{u_2}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{2,8333}+\frac{8}{\mathrm{2,3333}}\right)$≈  2,8284

$u_4=\frac{1}{2}\left(u_3+\frac{8}{u_3}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{2,8284}+\frac{8}{\mathrm{2,8284}}\right)$≈  2,8284

$u_5=\frac{1}{2}\left(u_4+\frac{8}{u_4}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{2,8284}+\frac{5}{\mathrm{2,8284}}\right)$≈  2,8284

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,8284 – 2,82843 = 0,00003.