Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hoạt động 2 trang 5, 6 Toán lớp 12 Giải tích:

a) $y=-\frac{x^2}{2}$ (H.4a)                             

b) $y=\frac{1}{x}$ (H.4b)

Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng. Từ đó hãy nêu nhận xét về mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm.

Lời giải:

a) Hàm số $y=-\frac{x^2}{2}$ có đạo hàm

y' = - x, y' = 0 khi x = 0.

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$, đạo hàm y' mang dấu +, đồ thị hàm số đi lên; trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$, đạo hàm mang dấu –, đồ thị hàm số đi xuống. Ta có bảng biến thiên như sau:

b) Hàm số $y=\frac{1}{x}$ xác định trên

có đạo hàm là $y^{\text{'}}=\frac{-1}{x^2}<0$với mọi $x\in ℝ\backslash \left.0\right\}$.

Do đó, trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right),\left(0;+\infty \right)$, đạo hàm y' đều mang dấu –, đồ thị hàm số đi xuống. Ta có bảng biến thiên như sau:

* Nhận xét: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

+ Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

+ Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.