Chứng minh rằng hàm số căn 2x - x^2 đồng biến

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 4 trang 10 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{2x-x^2}$ đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Lời giải:

TXĐ: D = [0; 2]

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$ với mọi x thuộc (0; 2)

Do $\sqrt{2x-x^2}>0\forall x\in \left(0;2\right)$ nên:

+ Hàm số đồng biến khi y’ > 0 với mọi x (0; 2)

$\iff$1 – x > 0$\iff$x < 1

Do đó: 0 < x < 1.

+ Hàm số nghịch biến y’ < 0 với mọi x (0; 2)

$\iff$1 – x < 0 $\iff$x > 1

Do đó: 1 < x < 2.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).