Anonymous

Chứng minh các bất đẳng thức

- asked 6 months agoVotes

0Answers

1Views

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

a) tan x > x $(0 < x < \frac{π}{2});$

b) tan x > x + $\frac{x^{3}}{3}$ $(0 < x < \frac{π}{2}) .$

a) Xét hàm số

y = f(x) = tanx – x trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

Ta có:

$y^{'} = \frac{1}{c o s^{2} x} - 1 = \tan^{2} x > 0$ với mọi số thực x

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

Do đó: f(x) > f(0) với mọi $x \in (0; \frac{π}{2})$

Lại có: f(0) = tan 0 – 0 = 0

Khi đó: tan x – x > 0 với mọi $x \in (0; \frac{π}{2})$

tan x > x với mọi $x \in (0; \frac{π}{2})$ (đpcm).

b) Xét hàm số

y = g(x) = tanx – x – $\frac{x^{3}}{3}$ trên $(0; \frac{π}{2})$

Ta có:

$g^{'} (x) = \frac{1}{c o s^{2} x} - 1 - x^{2} = \tan^{2} x - x^{2}$

= (tan x – x)(tan x + x)

Theo kết quả câu a) ta có:

tan x – x > 0 với mọi $x \in (0; \frac{π}{2})$ ,

hơn nữa tan x + x > 0 với mọi $x \in (0; \frac{π}{2})$ .

Do đó: $g^{'} (x) > 0 \forall x \in (0; \frac{π}{2})$

Suy ra y = g'(x) đồng biến trên $(0; \frac{π}{2})$

$\Rightarrow$ g(x) > g(0) với mọi $x \in (0; \frac{π}{2})$

Lại có: g(0) = tan 0 – 0 – $\frac{0^{3}}{3}$ = 0

Do đó: g(x) > 0 với mọi $x \in (0; \frac{π}{2})$

Hay tanx – x – $\frac{x^{3}}{3}$ > 0 với mọi $x \in (0; \frac{π}{2})$

Khi đó: tan > x + $\frac{x^{3}}{3}$ với mọi $x \in (0; \frac{π}{2})$ (đpcm).