Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 2 trang 10 Toán lớp 12 Giải tích:

a) $y=\frac{3x+1}{1-x};$

b) $y=\frac{x^2-2x}{1-x};$

c) $y=\sqrt{x^2-x-20}$;

d) $y=\frac{2x}{x^2-9}$ .

Lời giải:

a) Tập xác định: D = $ℝ$ \ {1}

Ta có: 

$y=\frac{3x+1}{1-x}=\frac{-3\left(1-x\right)+4}{1-x}=-3+\frac{4}{1-x}\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{4}{{\left(1-x\right)}^2}>0\forall x\in D$

Lại có: y'  không xác định tại x = 1

Ta có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x+1}{1-x}=\frac{3}{-1}=-3\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+1}{1-x}=\frac{3}{-1}=-3$

Do đó ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞).

b) Tập xác định: D = $ℝ$ \ {1}

Ta có:  

$y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-2\right)\left(1-x\right)+\left(x^2-2x\right)}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{-x^2+2x-2}{{\left(1-x\right)}^2}$

y’ < 0 với mọi x thuộc D

(vì –x² + 2x – 2 = – (x – 1)² – 1 < 0).

y' không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ;1) và (1 ; +∞).

c) Tập xác định: D = (-∞ ; -4] $\cup$ [5; +∞)

Ta có:

$y^{\text{'}}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-20}}$

Có $y^{\text{'}}=0\iff \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-20}}=0$

$\iff 2x–1=0\iff x=\frac{1}{2}\notin D$

y' không xác định tại x = -4 và x = 5.

Nên ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; -4); đồng biến trong khoảng (5; +∞).

d) Tập xác định: D = $ℝ$ \ {±3}

Ta có:

$y^{\text{'}}=\frac{2\left(x^2-9\right)-2x.2x}{{\left(x^2-9\right)}^2}=\frac{-2\left(x^2+9\right)}{{\left(x^2-9\right)}^2}$

Vì $x^2\ge 0\forall x\Rightarrow$ x² + 9 > 0 với mọi x

nên -2(x² + 9) < 0 với mọi x

Mà (x² - 9)² > 0 với mọi x thuộc D

Suy ra: y’ < 0 với mọi x thuộc D.

y' không xác định tại x = ±3

Lại có:

$\underset{x\to \infty }{\lim }y=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{x^2-9}=0\underset{x\to -3^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\frac{2x}{x^2-9}=-\infty \underset{x\to -3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{2x}{x^2-9}=+\infty \underset{x\to 3^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x}{x^2-9}=-\infty \underset{x\to 3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x}{x^2-9}=+\infty$

Nên ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; -3); ( -3; 3) và (3; +∞ ).