Với ba số a, b, c không âm

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 87 trang 19 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≥ $\sqrt{ab}$ + $\sqrt{bc}$ + $\sqrt{ca}$

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Lời giải:

Vì a, b và c không âm nên $\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}$ tồn tại.

Ta có: ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge 0\iff a+b\ge 2\sqrt{ab}\Rightarrow \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\left(1\right)$

Ta có: ${\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow b-2\sqrt{bc}+c\ge 0\iff b+c\ge 2\sqrt{bc}\Rightarrow \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}\left(2\right)$

Ta có: ${\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow c-2\sqrt{ca}+a\ge 0\iff c+a\ge 2\sqrt{ac}\Rightarrow \frac{c+a}{2}\ge \sqrt{ac}\left(3\right)$

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:

$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\iff \frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\iff \frac{2a+2b+2c}{2}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\iff \frac{2\left(a+b+c\right)}{2}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\iff a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh.