Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 83 trang 19 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

a) $\frac{2}{\sqrt{7}-5}-\frac{2}{\sqrt{7}+5}$

b) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

Lời giải:

a) $\frac{2}{\sqrt{7}-5}-\frac{2}{\sqrt{7}+5}$

$=\frac{2.\left(\sqrt{7}+5\right)}{\left(\sqrt{7}+5\right)\left(\sqrt{7}-5\right)}-\frac{2\left(\sqrt{7}-5\right)}{\left(\sqrt{7}+5\right)\left(\sqrt{7}-5\right)}=\frac{2\sqrt{7}+10}{7-25}-\frac{2\sqrt{7}-10}{7-25}=\frac{2\sqrt{7}+10-2\sqrt{7}+10}{-18}=\frac{20}{-18}=\frac{10}{-9}$

Vì $\frac{10}{-9}$ là số hữu tỉ nên $\frac{2}{\sqrt{7}-5}-\frac{2}{\sqrt{7}+5}$ là số hữu tỉ.

b) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

$=\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}=\frac{7+2\sqrt{5}.\sqrt{7}+5}{7-5}+\frac{7-2\sqrt{5}.\sqrt{7}+5}{7-5}=\frac{7+2\sqrt{35}+5+7-2\sqrt{35}+5}{2}=\frac{24}{2}=12$

Vì 12 là số hữu tỉ nên $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ.