Chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 82 trang 18 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Chứng minh: $x^2+x\sqrt{3}+1={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^2+x\sqrt{3}+1$. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được khi x bằng bao nhiêu.

Lời giải:

a) $x^2+x\sqrt{3}+1={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

VP $={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

$=x^2+2.x.\frac{\sqrt{3}}{2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}=x^2+x\sqrt{3}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}$

$=x^2+\sqrt{3}x+1$ = VT (điều phải chứng minh)

b) Theo câu a ta có:

$x^2+x\sqrt{3}+1={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

Vì ${\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2\ge 0$ với mọi x

Do đó ${\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\ge \frac{1}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$

$\iff x=\frac{-\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $x^2+x\sqrt{3}+1$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{-\sqrt{3}}{2}$