Cho biểu thức

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 86 trang 19 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức: $Q=\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)$

a. Rút gọn Q với a > 0, a ≠ 4 và a ≠ 1

b. Tìm giá trị của a để Q dương.

Lời giải:

a) $Q=\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)$

$\iff Q=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\left(\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)$

$\iff Q=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\left(\frac{a-1}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{a-4}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)$

$\iff Q=\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\left(\frac{a-1-a+4}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)$

$\iff Q=\frac{1}{\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}-1\right)}:\frac{3}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\iff Q=\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{3}\iff Q=\frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}$

 với a > 0, a ≠ 4 và a ≠ 1

b) Để Q dương thì $\frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}>0$

$\Rightarrow \sqrt{a}-2$ và $\sqrt{a}$ cùng dấu.

Mà $3\sqrt{a}>0$ với mọi a thỏa mãn điều kiện

Do đó: $\sqrt{a}-2>0$

$\iff \sqrt{a}>2\iff a>4$

Kết hợp với điều kiện vậy a > 4 thì Q dương.