Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh chính tắc là x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (Hình 3)

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 1: Elip

Hoạt động 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$trong đó a > b > 0. Cho điểm M(x; y) nằm trên (E) (Hình 3).

a) Gọi M₁ là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Tìm toạ độ của điểm M₁. Điểm M₁ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

b) Gọi M₂ là điểm đối xứng của M qua trục Oy. Tìm toạ độ của điểm M₂. Điểm M₂ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

c) Gọi M₃ là điểm đối xứng của M qua gốc O. Tìm toạ độ của điểm M₃. Điểm M₃ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

Lời giải:

Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (E) nên ta có: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

a) M₁ là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M₁ có toạ độ là (x; –y).

Ta có $\frac{x^2}{a^2}+\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$Do đó M₁ cũng thuộc (E).

b) M₂ là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M₂ có toạ độ là (–x; y).

Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$Do đó M₂ cũng thuộc (E).

c) M₃ là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M₃ có toạ độ là (–x; –y).

Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$Do đó M₃ cũng thuộc (E).