Quan sát elip (E) có phương trinh chính tắc là x^2/a^2+y^2/b^2=1, trong đó a > b > 0 và hình chữ nhật

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 1: Elip

Hoạt động 4 trang 41 Chuyên đề Toán 10:

Quan sát elip (E) có phương trinh chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > b > 0 và hình chữ nhật cơ sở PQRS của (E) (Hình 5).

a) Tính tỉ số giữa hai cạnh $\frac{QR}{PQ}$của hình chữ nhật PQRS.

b) Tỉ số $\frac{QR}{PQ}$phản ánh đặc điểm gì của (E) về hình dạng?

Lời giải:

a) Ta thấy Q(a; b), R(a; –b) nên

$\mathrm{QR}=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-\mathrm{a}\right)}^2+{\left(-\mathrm{b}-\mathrm{b}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\mathrm{b}\right)}^2}=2\mathrm{b}.$

Ta thấy P(–a; b), Q(a; b) nên 

$\mathrm{PQ}=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-\left(-\mathrm{a}\right)\right)}^2+{\left(\mathrm{b}-\mathrm{b}\right)}^2}=\sqrt{{\left(2\mathrm{a}\right)}^2}=2\mathrm{a}.$

Vậy $\frac{QR}{PQ}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}.$

b) Tỉ số $\frac{b}{a}$phản ánh cụ thể hình dạng của (E) như sau:

– Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$càng bé thì hình chữ nhật cơ sở càng "dẹt", do đó (E) càng "gầy".

– Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$càng lớn thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó (E) càng "béo".