Cho elip (E) có phương trình chính tắc là x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0). Xét đường thẳng

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 1: Elip

Hoạt động 7 trang 45 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0). Xét đường thẳng Δ₁: x = $-\frac{a}{e}.$

Với mỗi điểm M(x; y) $\in$(E) (Hình 9), tính:

a) Khoảng cách d(M, Δ₁) từ điểm M(x; y) đến đường thẳng Δ₁.

b) Tỉ số $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}$.

Lời giải:

a) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng: $x+0y+\frac{a}{e}=0.$Với mỗi điểm M(x; y) thuộc (E), ta có: 

$d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{\left.x+0y+\frac{a}{e}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{|a+ex|}{e}.$

b) Do MF₁ = a + ex > 0 nên MF₁ = |a + ex|, suy ra $d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{M{F}_1}{e}$. Vậy $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=e.$