Cho elip (E) có phương trình chính tắc là x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0). Xét đường tròn

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 1: Elip

Hoạt động 8 trang 46 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0). Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình là x² + y² = a².

Xét điểm M(x; y) $\in$(E) và điểm M₁(x; y₁) $\in$(C) sao cho y và y₁ luôn cùng dấu (khi M khác với hai đỉnh A₁, A₂ của (E)) (Hình 10).

a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính y² theo x².

Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính y₁² theo x².

b) Tính tỉ số $\frac{HM}{H{M}_1}=\frac{y}{y_1}$theo a và b.

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}=\frac{a^2-x^2}{a^2}\Rightarrow y^2=\frac{\left(a^2-x^2\right)b^2}{a^2};$

$x^2+y_1^2=a^2\Rightarrow y_1^2=a^2-x^2.$

b) Từ a)ta suy ra:

$\frac{y^2}{y_1^2}=\frac{\frac{\left(a^2-x^2\right)b^2}{a^2}}{a^2-x^2}=\frac{b^2}{a^2}\Rightarrow \frac{y}{y_1}=\frac{b}{a}.$

Vậy $\frac{HM}{H{M}_1}=\frac{y}{y_1}=\frac{b}{a}.$