Tìm giá trị của k để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Bài 4.4 trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}x+\sqrt{k}+\sqrt{3}$ 

a) Tìm giá trị của k để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

b) Tìm giá trị của k để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

c) Chứng minh rằng, với mọi giá trị k ≥ 0, các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của điểm cố định đó.

Lời giải:

a) Để biểu thức ở vế phải xác định thì k ≥ 0.

Để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng  thì (d) phải đi qua điểm $\left(0;2\sqrt{3}\right)$.

Thay x = 0; y = $2\sqrt{3}$ vào hàm số ta được: 

$2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}.0+\sqrt{k}+\sqrt{3}\iff 2\sqrt{3}=\sqrt{k}+\sqrt{3}\iff \sqrt{k}=\sqrt{3}\iff k=3$

 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy k = 3 thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2$\sqrt{3}$

b) Để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 thì (d) đi qua điểm (1; 0). Thay x = 1; y = 0 vào hàm số ta được:$0=\frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}.1+\sqrt{k}+\sqrt{3}\iff 0=\frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}+\sqrt{k}+\sqrt{3}\iff \frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}=-\sqrt{k}-\sqrt{3}\iff \sqrt{k}+1=\left(-\sqrt{k}-\sqrt{3}\right).\left(\sqrt{3}-1\right)\iff \sqrt{k}+1=-\sqrt{3}.\sqrt{k}+\sqrt{k}-3+\sqrt{3}\iff \sqrt{k}+\sqrt{3}.\sqrt{k}-\sqrt{k}=-3-1+\sqrt{3}\iff \sqrt{3}.\sqrt{k}=-4+\sqrt{3}\iff \sqrt{k}=\frac{-4+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}<0\left(vôlí\right)$

Vậy không tồn tại k để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

c) Giả sử (d) luôn đi qua điểm I$\left(x_0;y_0\right)$.

Thay x = x₀ và y = y₀ vào hàm số ta được:

$y_0=\frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}{x}_0+\sqrt{k}+\sqrt{3}\iff y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=\left(\sqrt{k}+1\right)x_0+\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{k}+\sqrt{3}\right)\iff y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=\sqrt{k}{x}_0+x_0+\sqrt{3}.\sqrt{k}-\sqrt{k}+3-\sqrt{3}\iff y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=\sqrt{k}\left(x_0+\sqrt{3}-1\right)+x_0+3-\sqrt{3}\iff \sqrt{k}\left(x_0+\sqrt{3}-1\right)+x_0+3-\sqrt{3}-y_0\left(\sqrt{3}-1\right)$

Để (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi k $\ge$1 ta có: 

$\begin{array}{l}{x}_0+\sqrt{3}-1=0\\ x_0+3-\sqrt{3}-y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=0\end{array}$

Với $x_0+\sqrt{3}-1=0$

$\iff x_0=1-\sqrt{3}$

Thay $x_0=1-\sqrt{3}$ vào $x_0+3-\sqrt{3}-y_0\left(\sqrt{3}-1\right)$= 0 ta có:

$\left(1-\sqrt{3}\right)+3-\sqrt{3}-y_0.\left(\sqrt{3}-1\right)=0\iff 4-2\sqrt{3}-y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=0\iff y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=4-2\sqrt{3}\iff y_0=\frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{\left(4-2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\iff y_0=\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}=\left(2-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1\right)\iff y_0=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+2-3=\sqrt{3}-1$

Vậy với k thì (d) luôn đi qua điểm I$\left(1-\sqrt{3};\sqrt{3}-1\right)$