Anonymous

Tìm giá trị của k để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

- asked 6 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Bài 4.4 trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{k} + 1}{\sqrt{3} - 1} x + \sqrt{k} + \sqrt{3}$

a) Tìm giá trị của k để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

b) Tìm giá trị của k để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

c) Chứng minh rằng, với mọi giá trị k ≥ 0, các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của điểm cố định đó.

Lời giải:

a) Để biểu thức ở vế phải xác định thì k ≥ 0.

Để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng thì (d) phải đi qua điểm $(0; 2 \sqrt{3})$ .

Thay x = 0; y = $2 \sqrt{3}$ vào hàm số ta được:

$2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{k} + 1}{\sqrt{3} - 1} .0 + \sqrt{k} + \sqrt{3} \Leftrightarrow 2 \sqrt{3} = \sqrt{k} + \sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{k} = \sqrt{3} \Leftrightarrow k = 3$

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy k = 3 thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 $\sqrt{3}$

b) Để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 thì (d) đi qua điểm (1; 0). Thay x = 1; y = 0 vào hàm số ta được: $0 = \frac{\sqrt{k} + 1}{\sqrt{3} - 1} .1 + \sqrt{k} + \sqrt{3} \Leftrightarrow 0 = \frac{\sqrt{k} + 1}{\sqrt{3} - 1} + \sqrt{k} + \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{k} + 1}{\sqrt{3} - 1} = - \sqrt{k} - \sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{k} + 1 = (- \sqrt{k} - \sqrt{3}) . (\sqrt{3} - 1) \Leftrightarrow \sqrt{k} + 1 = - \sqrt{3} . \sqrt{k} + \sqrt{k} - 3 + \sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{k} + \sqrt{3} . \sqrt{k} - \sqrt{k} = - 3 - 1 + \sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{3} . \sqrt{k} = - 4 + \sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{k} = \frac{- 4 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} < 0 (v ô l í)$

Vậy không tồn tại k để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

c) Giả sử (d) luôn đi qua điểm I $(x_{0}; y_{0})$ .

Thay x = x₀ và y = y₀ vào hàm số ta được:

$y_{0} = \frac{\sqrt{k} + 1}{\sqrt{3} - 1} x_{0} + \sqrt{k} + \sqrt{3} \Leftrightarrow y_{0} (\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{k} + 1) x_{0} + (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{k} + \sqrt{3}) \Leftrightarrow y_{0} (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{k} x_{0} + x_{0} + \sqrt{3} . \sqrt{k} - \sqrt{k} + 3 - \sqrt{3} \Leftrightarrow y_{0} (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{k} (x_{0} + \sqrt{3} - 1) + x_{0} + 3 - \sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{k} (x_{0} + \sqrt{3} - 1) + x_{0} + 3 - \sqrt{3} - y_{0} (\sqrt{3} - 1)$

Để (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi k $\geq$ 1 ta có:

$\begin{array}{l} x_{0} + \sqrt{3} - 1 = 0 \\ x_{0} + 3 - \sqrt{3} - y_{0} (\sqrt{3} - 1) = 0 \end{array}$

Với $x_{0} + \sqrt{3} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x_{0} = 1 - \sqrt{3}$

Thay $x_{0} = 1 - \sqrt{3}$ vào $x_{0} + 3 - \sqrt{3} - y_{0} (\sqrt{3} - 1)$ = 0 ta có:

$(1 - \sqrt{3}) + 3 - \sqrt{3} - y_{0} . (\sqrt{3} - 1) = 0 \Leftrightarrow 4 - 2 \sqrt{3} - y_{0} (\sqrt{3} - 1) = 0 \Leftrightarrow y_{0} (\sqrt{3} - 1) = 4 - 2 \sqrt{3} \Leftrightarrow y_{0} = \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(4 - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} \Leftrightarrow y_{0} = \frac{2 (2 - \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = (2 - \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 1) \Leftrightarrow y_{0} = 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 - 3 = \sqrt{3} - 1$