Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2.1 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Lời giải:

a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.1 = 1(1 + 1).

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

= k(k + 1) + 2(k+1) = (k + 1)(k + 2) = (k + 1)[(k + 1) + 1].

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 1² = $\frac{1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{6}.$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

= (k + 1)²+ $\frac{\mathrm{k}\left(\mathrm{k}+1\right)\left(2\mathrm{k}+1\right)}{6}$

$=\frac{6{\left(\mathrm{k}+1\right)}^2}{6}+\frac{\mathrm{k}\left(\mathrm{k}+1\right)\left(2\mathrm{k}+1\right)}{6}$

$=\frac{\mathrm{k}+1}{6}\left.6\left(\mathrm{k}+1\right)+\mathrm{k}\left(2\mathrm{k}+1\right)\right]$

$=\frac{\mathrm{k}+1}{6}\left.2{\mathrm{k}}^2+7\mathrm{k}+6\right]$

$=\frac{\mathrm{k}+1}{6}\left(\mathrm{k}+2\right)\left(2\mathrm{k}+3\right)$

$=\frac{\mathrm{k}+1}{6}$$\left.\left(\mathrm{k}+1\right)+1\right]\left.2\left(\mathrm{k}+1\right)+1\right].$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.