Lãi suất gửi tiết kiệm trong ngân hàng thường được tính theo thể thức lãi kép theo định kì

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Vận dụng trang 30 Chuyên đề Toán 10: Lãi suất gửi tiết kiệm trong ngân hàng thường được tính theo thể thức lãi kép theo định kì. Theo thề thức này, nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Giả sử một người gửi số tiền A với lãi suất r không đổi trong mỗi kì.

a) Tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T₁, T₂, T₃ mà người đó nhận được sau kì thứ 1, sau kì thứ 2 và sau kì thứ 3.

b) Dự đoán công thức tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T_n mà người đó thu được sau n kì. Hãy chứng minh công thức nhận được đó bằng quy nạp.

Lời giải:

a)

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T₁ mà người đó nhận được sau kì thứ 1 là:

T₁ = A + Ar = A(1 + r).

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T₂ mà người đó nhận được sau kì thứ 2 là:

T₂ = A(1 + r) + A(1 + r)r = A(1 + r)(1 + r) = A(1 + r)².

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T₃ mà người đó nhận được sau kì thứ 3 là:

T₃ = A(1 + r)² + A(1 + r)²r = A(1 + r)³.

b) Từ câu a) ta có thể dự đoán T_n = A(1 + r)ⁿ.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có T₁ = A(1 + r) = A(1 + r)¹.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: T_k = A(1 + r)^k.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:T_{k + 1} = A(1 + r)^{k + 1}.

Thật vậy,

Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T_{k + 1} mà người đó nhận được sau kì thứ (k + 1) là:

T_{k + 1} = A(1 + r)^k + A(1 + r)^k.r = A(1 + r)^k(1 + r) = A(1 + r)^{k + 1}.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy T_n = A(1 + r)ⁿ với mọi số tự nhiên n ≥ 1.