Chuyên đề Toán 10 Bài 5 (Kết nối tri thức): Elip

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 5: Elip

Giải bài tập trang 40, 41 Chuyên đề Toán 10 Bài 5

HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10:

a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ.

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) Với điểm M(x₀; y₀) thuộc elip, hãy so sánh OM² với a², b².

Lời giải:

a)

+) Vì A₁ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₁ có dạng $\left(x_{A_1};0\right).$

Mà A₁ thuộc elip nên $\frac{x_{{A_1}_{}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$$\Rightarrow x_{{A_1}_{}}^2=a^2\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_{A_1}=a\\ x_{A_1}=-a\end{array}.$

Ta thấy A₁ nằm bên trai điểm O trên trục Ox nên $x_{A_1}<0\Rightarrow x_{A_1}=-a$A₁(–a; 0).

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $\left(x_{A_2};0\right).$

Mà A₂ thuộc elip nên $\frac{x_{{A_2}_{}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$$\Rightarrow x_{{A_2}_{}}^2=a^2\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_{A_2}=a\\ x_{A_2}=-a\end{array}.$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_2}>0\Rightarrow$A₂(a; 0).

+) Vì B₁ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₁ có dạng $\left(0;y_{B_1}\right).$

Mà B₁ thuộc elip nên :

$\frac{0^2}{a^2}+\frac{y_{{B_1}_{}}^2}{b^2}=1\Rightarrow y_{{B_1}_{}}^2=b^2\Rightarrow \begin{array}{l}{y}_{B_1}=b\\ y_{B_1}=-b\end{array}.$

Ta thấy B₁ nằm bên dưới điểm O trên trục Oy nên $y_{B_1}>0\Rightarrow y_{B_1}=-b$B₁(0; –b).

+) Vì B₂ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₂ có dạng $\left(0;y_{B_2}\right).$

Mà B₂ thuộc elip nên:

$\frac{0^2}{a^2}+\frac{y_{{B_2}_{}}^2}{b^2}=1\Rightarrow y_{{B_2}_{}}^2=b^2\Rightarrow \begin{array}{l}{y}_{B_2}=b\\ y_{B_2}=-b\end{array}.$

Ta thấy B₂ nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên $y_{B_2}>0\Rightarrow y_{B_2}=b$B₂(0; b).

b)

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}$$=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}$$=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) M(x₀; y₀) thuộc elip nên ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

OM² = $x_0^2+y_0^2=a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}$

mà $b^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<$$a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}$$<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+a^2.\frac{y_0^2}{b^2}$

hay $b^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)<$$a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}$$<a^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)$

hay $b^2<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<a^2$nên $b^2<O{M}^2<a^2.$

Luyện tập 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 10, suy ra 2a = 10, suy ra a = 5.

– Elip có một tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b² = a² – c² = 5² – 3² = 16.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

Luyện tập 2 trang 41 Chuyên đề Toán 10:

(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phương trình x² + y² = a² và số (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn, gọi H(x₀; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5).

a) Tính toạ độ của N theo x₀; y₀; k.

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\left(ka\right)}^2}=1$.

Lời giải:

a) Gọi toạ độ của N là (x_N; y_N­). Khi đó $\overrightarrow{HN}=\left(x_N-x_0;y_N-0\right)$$=\left(x_N-x_0;y_N\right).$

Vì HN = kHM nên $\overrightarrow{HN}=k\overrightarrow{HM}.$Mà $\overrightarrow{HM}=\left(x_0-x_0;y_0-0\right)=\left(0;y_0\right)$nên $\begin{array}{l}{x}_N-x_0=k.0\\ y_N=k.y_0\end{array}$$\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_N=x_0\\ y_N=k{y}_0\end{array}.$

b) Khi M thay đổi trên đường tròn ta luôn có $x_0^2+y_0^2=a^2.$

Do đó

 $\frac{x_N^2}{a^2}+\frac{y_N^2}{{\left(ka\right)}^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{\left(k{y}_0\right)}^2}{{\left(ka\right)}^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{a^2}=\frac{x_0^2+y_0^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1.$

Vậy N luôn thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\left(ka\right)}^2}=1$.

Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 5

HĐ2 trang 42 Chuyên đề Toán 10:

a) Tính MF₁² – MF₂².

b) Khi điểm M thuộc elip (MF₁ + MF₂ = 2a), tính MF₁ – MF₂, MF₁, MF₂.

Lời giải:

a) MF₁² – MF₂² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

b) MF₁² – MF₂² = 4cx (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx 2a(MF₁ – MF₂) = 4cx

$\Rightarrow$MF₁ – MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$=$\frac{2c}{a}$ x.

+) Từ MF₁ + MF₂ = 2a và $M{F}_1-M{F}_2=\frac{2c}{a}x$ta suy ra:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = 2a +$\frac{2c}{a}x\Rightarrow$2MF₁ = 2a + $\frac{2c}{a}x\Rightarrow$MF₁ = a + x.

+) Từ MF₁ + MF₂ = 2a và $M{F}_1-M{F}_2=\frac{2c}{a}x$ta suy ra:

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = 2a –$\frac{2c}{a}x\Rightarrow$2MF₂ = 2a – $\frac{2c}{a}x\Rightarrow$MF₂ = a – x.

Luyện tập 3 trang 43 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Có a² = 36, suy ra a = 6.

$c=\sqrt{a^2-b^2}=$$\sqrt{36-20}=\sqrt{16}=4.$

Gọi toạ độ của M là (x; y).

Ta xét khoảng cách từ M đến F₁.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = 6 + $\frac{4}{6}$x = 6 + x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –6 ≤ x ≤ 6

 $\Rightarrow -\frac{2}{3}.6\le \frac{2}{3}x\le \frac{2}{3}.6\Rightarrow -4\le \frac{2}{3}x\le 4\Rightarrow 2\le 6+\frac{2}{3}x\le 10.$

Vậy 2 ≤ MF₁ ≤ 10.

Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng 2 khi M có hoành độ bằng –6, lớn nhất bằng 10 khi M có hoành độ bằng 6.

Vận dụng 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Giả sử Trái Đất có toạ độ là điểm M(x; y) và tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁.

Khi đó, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời lần lượt là a + c và a – c.

Theo đề bài ta có: a + c = 152 và a – c = 147.

Suy ra a = 149,5 và c = 2,5.

Suy ra b² = a² – c² = 149,5² – 2,5² = 22344.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{22350,25}+\frac{y^2}{22344}=1.$

HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng: Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{\left.x+0y+\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$$=\left.x+\frac{a^2}{c}\right|.$

Do MF₁ = a + x > 0 nên MF₁ = |a + $\frac{c}{a}$x|,

suy ra $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=\frac{\left.a+\frac{c}{a}x\right|}{\left.x+\frac{a^2}{c}\right|}$$=\frac{\left.\frac{a^2+cx}{a}\right|}{\left.\frac{xc+a^2}{c}\right|}=\left.\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₂ ở dạng: $x+0y-\frac{a^2}{c}=0.$Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{\left.x+0y-\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$$=\left.x-\frac{a^2}{c}\right|.$

Do MF₂ = a – $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$x > 0 nên MF₂ = |a –$\frac{c}{a}$ x|,

suy ra $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}=\frac{\left.a-\frac{c}{a}x\right|}{\left.x-\frac{a^2}{c}\right|}$$=\frac{\left.\frac{a^2-cx}{a}\right|}{\left.\frac{xc-a^2}{c}\right|}=\left.\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

Giải bài tập trang 44 Chuyên đề Toán 10 Bài 5

Luyện tập 4 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

+) Có a² = 36, b² = 25, suy ra a = 6, b = 5.

$c=\sqrt{a^2-b^2}$$=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}.$

Tâm sai của elip là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{11}}{6},$các đường chuẩn của elip là ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}\iff x=-\frac{36}{\sqrt{11}}$và ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}$$\iff x=\frac{36}{\sqrt{11}}.$

+) Các bán kính qua tiêu của điểm thuộc elip và có hoành độ bằng –2 là:

MF₁ = a + x = 6 +$\frac{\sqrt{11}}{6}\left(-2\right)$ = 6 –$\frac{\sqrt{11}}{3}$

MF₂ = a – x = 6 – $\frac{\sqrt{11}}{6}\left(-2\right)$= 6 +$\frac{\sqrt{11}}{3}.$

Vận dụng 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Bài 3.1 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

a) Xác định đỉnh và độ dài các trục của elip.

b) Xác định tâm sai và các đường chuẩn của elip.

c) Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip, biết điểm M có hoành độ bằng –3.

Lời giải:

a) Có a² = 12, b² = 4 $\Rightarrow a=\sqrt{12}=2\sqrt{3},$b = 2.

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–$2\sqrt{3}$; 0), A₂( $2\sqrt{3}$; 0), B₁(0; –2), B₂(0; 2).

Độ dài trục lớn của elip là 2a = 2.$2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$

Độ dài trục nhỏ của elip là 2b = 2.2 = 4.

b) $c=\sqrt{a^2-b^2}$$=\sqrt{12-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

Tâm sai của elip là e =$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3},$ các đường chuẩn của elip là ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}\iff x=-3\sqrt{2}$và ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}\iff x=3\sqrt{2}.$

c) Các bán kính qua tiêu của điểm thuộc elip và có hoành độ bằng –3 là:

Bài 3.2 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6;

b) Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.

– Tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b² = a² – c² = 4² – 3² = 7.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1.$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.

– Elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{2},$suy ra $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\Rightarrow \frac{c}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow c=2\sqrt{3}$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$

Bài 3.3 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$.

a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b)Tìm điểm M trên elip sao cho MF₁ = 2MF₂ với F₁ và F₂ là hai tiêu điểm của elip (hoành độ của F₁ âm).

Lời giải:

Có $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-5}=2.$

a) Giả sử A nằm phía trên còn B nằm phía dưới trục Ox.

Khi đó toạ độ của A có dạng (c; y_A) hay (2; y_A) với y_A > 0;

toạ độ của B có dạng (c; y_B) hay (2; y_B) với y_B > 0.

Vì A thuộc elip nên $\frac{2^2}{9}+\frac{{\left(y_A\right)}^2}{5}=1$$\Rightarrow \frac{{\left(y_A\right)}^2}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow y_A=\frac{5}{3}.$

Vì B thuộc elip nên $\frac{2^2}{9}+\frac{{\left(y_B\right)}^2}{5}=1$$\Rightarrow \frac{{\left(y_B\right)}^2}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow y_B=-\frac{5}{3}.$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(2-2\right)}^2+{\left(-\frac{5}{3}-\frac{5}{3}\right)}^2}=\frac{10}{3}.$

b) Gọi toạ độ của M là (x; y). Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x, MF₂ = a –$\frac{c}{a}$ x. Do đó:

MF₁ = 2MF₂

_{$\iff a+\frac{c}{a}x=2\left(a-\frac{c}{a}x\right)\iff a=3\frac{c}{a}x\iff x=\frac{a^2}{3c}=\frac{9}{3.2}=\frac{3}{2}.$}

_{$\Rightarrow \frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{y^2}{5}=1\Rightarrow \frac{y^2}{5}=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{15}}{2}.$}

Vậy $M\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{15}}{2}\right)$hoặc $M\left(\frac{3}{2};-\frac{\sqrt{15}}{2}\right).$

Giải bài tập trang 45 Chuyên đề Toán 10 Bài 5

Bài 3.4 trang 45 Chuyên đề Toán 10:

Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$và chứng minh rằng, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì điểm $N\left(\frac{b}{a}{x}_0;y_0\right)$thuộc đường tròn phụ.

Lời giải:

Vì đường tròn phụ có đường kính là trục nhỏ của elip nên có tâm là O(0; 0) và bán kính b.

Vậy phương trình đường tròn phụ là: $x^2+y^2=b^2.$

Có M(x₀; y₀) thuộc elip nên $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Xét điểm $N\left(\frac{b}{a}{x}_0;y_0\right)$, ta có:

${\left(\frac{b}{a}{x}_0\right)}^2+y_0^2=\frac{b^2}{a^2}.x_0^2+y_0^2=b^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)=b^2.1=b^2.$

Vậy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình đường tròn phụ, do đó điểm N thuộc đường tròn phụ.

Bài 3.5 trang 45 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip, đơn vị trên các trục là kilômét.

Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Theo đề bài, ta có:

– Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.10⁶ km, suy ra a = 590635.10⁶.

– Elip có yâm sai khoảng 0,244 $\Rightarrow \frac{c}{a}=0,244$$\Rightarrow$c = 0,244.a = 144114,94.10⁶.

Giả sử sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y).

Khoảng cách giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời là MF₁.

MF₁ = a +$\frac{c}{a}$ x, vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF₁ ≤ a + c

590635.10⁶ – 144114,94.10⁶ ≤ MF₁ ≤ 590635.10⁶ + 144114,94.10⁶

46520,06.10⁶ ≤ MF₁ ≤ 734749,94.10⁶

Vậy khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời lần lượt là 46520,06.10⁶ km và 734749,94.10⁶ km.

Bài 3.6 trang 45 Chuyên đề Toán 10:

Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9).

Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2 m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của elip này là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Dựa vào hình vẽ ta thấy: 2c = 16 $\Rightarrow$c = 8.

b = 7,6 – 1,6 = 6 $\Rightarrow$a =$\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Âm thanh đi từ một tiêu điểm qua điểm M(x; y) trên trần vòm rồi đến tiêu điểm kia. Do đó quãng đường mà âm thanh đã đi là: MF₁ + MF₂.

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF₁ = a + $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$x, MF₂ = a – $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$x.

Quãng đường âm thanh đã đi là: MF₁ + MF₂ = a +$\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$ x + a – $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$x = 2a = 20 (m).

Thời gian âm thanh đã đi là: $\frac{20}{343,2}$≈ 0,0583 (s).

Vậy âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau khoảng 0,0583 giây sẽ đến được tiêu điểm kia.