Giải bài tập trang 45 Chuyên đề Toán 10 Bài 5 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 45 Chuyên đề Toán 10 Bài 5 - Kết nối tri thức

Bài 3.4 trang 45 Chuyên đề Toán 10:

Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$và chứng minh rằng, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì điểm $N\left(\frac{b}{a}{x}_0;y_0\right)$thuộc đường tròn phụ.

Lời giải:

Vì đường tròn phụ có đường kính là trục nhỏ của elip nên có tâm là O(0; 0) và bán kính b.

Vậy phương trình đường tròn phụ là: $x^2+y^2=b^2.$

Có M(x₀; y₀) thuộc elip nên $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Xét điểm $N\left(\frac{b}{a}{x}_0;y_0\right)$, ta có:

${\left(\frac{b}{a}{x}_0\right)}^2+y_0^2=\frac{b^2}{a^2}.x_0^2+y_0^2=b^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)=b^2.1=b^2.$

Vậy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình đường tròn phụ, do đó điểm N thuộc đường tròn phụ.

Bài 3.5 trang 45 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip, đơn vị trên các trục là kilômét.

Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Theo đề bài, ta có:

– Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.10⁶ km, suy ra a = 590635.10⁶.

– Elip có yâm sai khoảng 0,244 $\Rightarrow \frac{c}{a}=0,244$$\Rightarrow$c = 0,244.a = 144114,94.10⁶.

Giả sử sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y).

Khoảng cách giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời là MF₁.

MF₁ = a +$\frac{c}{a}$ x, vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF₁ ≤ a + c

590635.10⁶ – 144114,94.10⁶ ≤ MF₁ ≤ 590635.10⁶ + 144114,94.10⁶

46520,06.10⁶ ≤ MF₁ ≤ 734749,94.10⁶

Vậy khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời lần lượt là 46520,06.10⁶ km và 734749,94.10⁶ km.

Bài 3.6 trang 45 Chuyên đề Toán 10:

Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9).

Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2 m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của elip này là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Dựa vào hình vẽ ta thấy: 2c = 16 $\Rightarrow$c = 8.

b = 7,6 – 1,6 = 6 $\Rightarrow$a =$\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Âm thanh đi từ một tiêu điểm qua điểm M(x; y) trên trần vòm rồi đến tiêu điểm kia. Do đó quãng đường mà âm thanh đã đi là: MF₁ + MF₂.

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF₁ = a + $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$x, MF₂ = a – $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$x.

Quãng đường âm thanh đã đi là: MF₁ + MF₂ = a +$\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$ x + a – $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$x = 2a = 20 (m).

Thời gian âm thanh đã đi là: $\frac{20}{343,2}$≈ 0,0583 (s).

Vậy âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau khoảng 0,0583 giây sẽ đến được tiêu điểm kia.