Giải bài tập trang 44 Chuyên đề Toán 10 Bài 5 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 44 Chuyên đề Toán 10 Bài 5 - Kết nối tri thức

Luyện tập 4 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

+) Có a² = 36, b² = 25, suy ra a = 6, b = 5.

$c=\sqrt{a^2-b^2}$$=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}.$

Tâm sai của elip là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{11}}{6},$các đường chuẩn của elip là ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}\iff x=-\frac{36}{\sqrt{11}}$và ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}$$\iff x=\frac{36}{\sqrt{11}}.$

+) Các bán kính qua tiêu của điểm thuộc elip và có hoành độ bằng –2 là:

MF₁ = a + x = 6 +$\frac{\sqrt{11}}{6}\left(-2\right)$ = 6 –$\frac{\sqrt{11}}{3}$

MF₂ = a – x = 6 – $\frac{\sqrt{11}}{6}\left(-2\right)$= 6 +$\frac{\sqrt{11}}{3}.$

Vận dụng 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Bài 3.1 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

a) Xác định đỉnh và độ dài các trục của elip.

b) Xác định tâm sai và các đường chuẩn của elip.

c) Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip, biết điểm M có hoành độ bằng –3.

Lời giải:

a) Có a² = 12, b² = 4 $\Rightarrow a=\sqrt{12}=2\sqrt{3},$b = 2.

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–$2\sqrt{3}$; 0), A₂( $2\sqrt{3}$; 0), B₁(0; –2), B₂(0; 2).

Độ dài trục lớn của elip là 2a = 2.$2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$

Độ dài trục nhỏ của elip là 2b = 2.2 = 4.

b) $c=\sqrt{a^2-b^2}$$=\sqrt{12-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

Tâm sai của elip là e =$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3},$ các đường chuẩn của elip là ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}\iff x=-3\sqrt{2}$và ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}\iff x=3\sqrt{2}.$

c) Các bán kính qua tiêu của điểm thuộc elip và có hoành độ bằng –3 là:

Bài 3.2 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6;

b) Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.

– Tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b² = a² – c² = 4² – 3² = 7.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1.$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.

– Elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{2},$suy ra $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\Rightarrow \frac{c}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow c=2\sqrt{3}$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$

Bài 3.3 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$.

a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b)Tìm điểm M trên elip sao cho MF₁ = 2MF₂ với F₁ và F₂ là hai tiêu điểm của elip (hoành độ của F₁ âm).

Lời giải:

Có $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-5}=2.$

a) Giả sử A nằm phía trên còn B nằm phía dưới trục Ox.

Khi đó toạ độ của A có dạng (c; y_A) hay (2; y_A) với y_A > 0;

toạ độ của B có dạng (c; y_B) hay (2; y_B) với y_B > 0.

Vì A thuộc elip nên $\frac{2^2}{9}+\frac{{\left(y_A\right)}^2}{5}=1$$\Rightarrow \frac{{\left(y_A\right)}^2}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow y_A=\frac{5}{3}.$

Vì B thuộc elip nên $\frac{2^2}{9}+\frac{{\left(y_B\right)}^2}{5}=1$$\Rightarrow \frac{{\left(y_B\right)}^2}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow y_B=-\frac{5}{3}.$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(2-2\right)}^2+{\left(-\frac{5}{3}-\frac{5}{3}\right)}^2}=\frac{10}{3}.$

b) Gọi toạ độ của M là (x; y). Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x, MF₂ = a –$\frac{c}{a}$ x. Do đó:

MF₁ = 2MF₂

_{$\iff a+\frac{c}{a}x=2\left(a-\frac{c}{a}x\right)\iff a=3\frac{c}{a}x\iff x=\frac{a^2}{3c}=\frac{9}{3.2}=\frac{3}{2}.$}

_{$\Rightarrow \frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{y^2}{5}=1\Rightarrow \frac{y^2}{5}=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{15}}{2}.$}

Vậy $M\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{15}}{2}\right)$hoặc $M\left(\frac{3}{2};-\frac{\sqrt{15}}{2}\right).$