Cho tổng Sn = 1/(1.2) + 1/(2.3) +...+1/[n(n+1)]

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tồng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

*Phương pháp giải

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

*Lời giải:

a) S₁ = $\frac{1}{1\left(1+1\right)}=\frac{1}{2},$S₂ = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3},$S₃ = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}.$

b) Từ câu a) ta dự đoán S_n = $\frac{n}{n+1}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có S₁ = $\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}.$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: S_k = $\frac{k}{k+1}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: S_{k + 1} = $\frac{k+1}{\left(k+1\right)+1}.$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

= S_k + $\frac{1}{\left(k+1\right)\left.\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left.\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{k}+1}+\frac{1}{\left(\mathrm{k}+1\right)\left(\mathrm{k}+2\right)}=\frac{\mathrm{k}\left(\mathrm{k}+2\right)+1}{\left(\mathrm{k}+1\right)\left(\mathrm{k}+2\right)}$

$=\frac{{\mathrm{k}}^2+2\mathrm{k}+1}{\left(\mathrm{k}+1\right)\left(\mathrm{k}+2\right)}=\frac{{\left(\mathrm{k}+1\right)}^2}{\left(\mathrm{k}+1\right)\left(\mathrm{k}+2\right)}=\frac{\mathrm{k}+1}{\mathrm{k}+2}=\frac{\mathrm{k}+1}{\left(\mathrm{k}+1\right)+1}.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.