Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức: a^n – b^n = (a – b)[a^(n – 1) + a^(n – 2)b + ... + ab^(n –2) + b^(n – 1)]

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Luyện tập 2 trang 28 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức:

Lời giải:

Bước 1. Khi n = 1, ta có: a¹ – b¹ = a – b.

Vậy khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

a^{k + 1} – b^{k + 1}

= a . a^k – b . b^k

= a . a^k – a . b^k + a . b^k – b . b^k

= a . (a^k – b^k) + b^k . (a – b)

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.