Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2.2 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.

a) p(n) = n² – n + 11 là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n;

b) n² > n với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Lời giải:

a) Khẳng định này là sai vì với n = 11 ta có p(11) = 11² không phải số nguyên tố.

b) Khẳng định này là đúng. Ta chứng minh bằng quy nạp:

Bước 1. Với n = 2 ta có 2² = 4 > 2.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ( k ≥ 2), tức là ta có: k² > k

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: (k + 1)² > k + 1

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

(k + 1)² = k² + 2k + 1 > k + 2k + 1 > k + 1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2.