Chứng minh rằng n^3 – n + 3 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 1

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2.3 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n³ – n + 3 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 1³ – 1 + 3 = 3 ⁝ 3.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: k³ – k + 3 ⁝ 3

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: (k + 1)³ – (k + 1) + 3 ⁝ 3

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

(k + 1)³ – (k + 1) + 3

= (k³ + 3k² + 3k + 1) – (k + 1) + 3

= (k³ – k + 3) + (3k² + 3k)

Vì (k³ – k + 3) và (3k² + 3k) đều chia hết cho 3 nên (k³ – k + 3) + (3k² + 3k) ⁝ 3 hay (k + 1)³ – (k + 1) + 3 ⁝ 3.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.