Bài 5 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 2

Bài 5 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1: Một nông trại thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Biết rằng, để làm ra một hũ tương cà loại A cần 10 kg cà chua cùng với 1kg hành tây và khi bán lãi được 200 nghìn đồng, còn để làm được một hũ tương cà loại B cần 5 kg cà chua cùng với 0,25 kg hành tây và khi bán lãi được 150 nghìn đồng. Thăm dò thị hiếu của khách hàng cho thấy cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B. Hãy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số lượng hũ tương cà loại A và loại B.

+ Số kg cà chua để làm 2 loại tương ớt không được vượt quá 180 kg nên 10x + 5y ≤180 hay 2x + y ≤ 36

+ Số kg hành tây để làm 2 loại tương ớt không được vượt quá 15 kg nên x + 0,25y ≤ 15

+ Theo yêu cầu cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B nên x ≥ 3,5y

Suy ra hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc là:$\begin{array}{l}2x+y\le 36\\ x+0,25y\le 15\\ x\ge 3,5y\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : 2x + y ≤ 36

Vẽ đường thẳng 2x + y - 36 = 0 đi qua hai điểm (18; 0) và (0; 36).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng 2x + y – 36 = 0 và 2.0 + 0 – 36 = - 36< 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + 0,25y ≤ 15

Vẽ đường thẳng x + 0,25y – 15 = 0 đi qua hai điểm (15; 0); (0; 60).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + 0,25y – 15 = 0 và 0 + 0,25.0 - 15 = -15< 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x ≥3,5y hay x - 3,5y ≥ 0.

≥ 0

Vẽ đường thẳng x - 3,5y = 0 đi qua hai điểm (0; 0); (7; 2).

Xét gốc toạ độ A(1; 1) ta thấy: A không thuộc đường thẳng x - 3,5y = 0 và 1 - 3,5.1 = -2.5 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm A

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền nghiệm là tam giác OAB với các đỉnh O(0; 0); A(15; 0); B(14; 4).

Gọi F là số tiền lãi thu được (đơn vị: nghìn đồng), ta được: F = 200x + 150y.

Giá trị của F tại các đỉnh của tam giác:

Tại O(0; 0) ta có: F = 200.0 + 150.0 = 0;

Tại A(15; 0) ta có: F = 200.15 + 150.0 = 3 000;

Tại B(14; 4) ta có: F = 200.14 + 150.4 = 3 400;

F đạt giá trị lớn nhất bằng 3 400 tại B(14; 4).

Vậy chủ nông trại cần làm 14 hũ tương cà loại A và 4 hũ tương cà loại B để thu được số tiền lãi lớn nhất.

*Phương pháp giải:

Xét bất phương trình ax + by + c < 0. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x₀; y₀) sao cho ax_0­+ by₀+ c < 0 được gọi là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.

– Phương pháp xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c < 0 như sau:

+ Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng Δ: ax + by + c = 0.

+ Bước 2: Lấy một điểm (x₀; y₀) không thuộc Δ. Tính ax_0­+ by₀+ c.

+ Bước 3: Kết luận:

Nếu ax_0­+ by₀+ c < 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ Δ) chứa điểm (x₀; y₀).

Nếu ax_0­+ by₀+ c > 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ Δ) không chứa điểm (x₀; y₀).

– Chú ý: Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≤ 0 (hoặc ax + by + c ≥ 0) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (hoặc ax + by + c > 0) kể cả bờ.

*Lý thuyết:

- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Cặp số$\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi$\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\mathrm{x}+2\mathrm{y}<9\\ \mathrm{y}-2\mathrm{x}>9\end{array}$là một hệ bất phương trình hai ẩn gồm 2 bất phương trình$\mathrm{x}+2\mathrm{y}<9$và$\mathrm{y}-2\mathrm{x}>9$.

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2<5\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}>4\end{array}$không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2<5$là bất phương trình bậc hai 2 ẩn.

- Cho hệ bất phương trình hai ẩn$\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}>9\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}<9\end{array}$.

Cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 9 và cũng là nghiệm của bất phương trình x – y < 9. Nên cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

- Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.