Lý thuyết Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên – Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Toán 6 Bài 4: Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên - Chân trời sáng tạo

1. Nhân hai số nguyên khác dấu

Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu

− Tích của hai số nguyên khác dấu luôn luôn là một số nguyên âm.

− Khi nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân số dương với số đối của số âm rồi thêm dấu trừ (−) trước kết quả nhận được.

Chú ý: Cho hai số nguyên dương a và b, ta có:

(+ a) . (−b) = − a . b

(− a) . (+ b) = − a . b

Ví dụ: Tính:

a) (−9) . 4;

b) 6 . (−11);

c) (−14) . 50.

Hướng dẫn giải

a) (−9) . 4 = −(9.  4) = − 36;

b) 6 . (−11) = − (6 . 11) = −66;

c) (−14) . 50 = − (14 . 50) = − 700.

2. Nhân hai số nguyên cùng dấu

Quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu

− Khi nhân hai số nguyên cùng dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.

− Khi nhân hai số nguyên cùng âm, ta nhân hai số đối của chúng.

Chú ý:

• Cho hai số nguyên dương a và b, ta có: (−a) . (−b) = (+a) . (+b) = a . b.

• Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn luôn là một số nguyên dương.

Ví dụ: Tính:

a) 15 . 6;

b) (−55) . (−10);

c) (+22) . (+11).

Hướng dẫn giải

a) 15 . 6 = 90;

b) (−55) . (−10) = 55 . 10 = 550;

c) (+22) . (+11) = 22 . 11 = 242.

3. Tính chất của phép nhân các số nguyên

a) Tính chất giao hoán

Phép nhân hai số nguyên có tính chất giao hoán, nghĩa là:

a . b = b . a

Chú ý:

• a . 1 = 1 . a = a;

• a . 0 = 0 . a = 0.

• Cho hai số nguyên x, y:

Nếu x . y = 0 thì x = 0 hoặc y = 0.

Ví dụ: Nếu (a + 5) . (a – 14) = 0 thì

a + 5 = 0 hoặc a – 14 = 0.

Suy ra a = –5 hoặc a = 14.

b) Tính chất kết hợp

Phép nhân các số nguyên có tính chất kết hợp:

(a . b) . c = a . (b . c)

Chú ý: Áp dụng tính chất kết hợp của phép nhân, ta có thể viết tích của nhiều số nguyên:

a . b . c = a . (b . c) = (a . b) . c.

Ví dụ:

[(−4) . (−5)] . 8 = (−4) . [(−5) . 8]

= (−4) . (−5) . 8 = 4 . 5 . 8

= 20 . 8 = 160.

c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Phép nhân số nguyên có tính chất phân phối đối với phép cộng:

a(b + c) = ab + ac

Phép nhân số nguyên có tính chất phân phối đối với phép trừ:

a(b − c) = ab – ac

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

(−5) . 29 + (−5) . (−99) + (−5) . (−30).

Hướng dẫn giải

(−5) . 29 + (−5) . (−99) + (−5) . (−30)

= (−5) . [29 + (−99) + (−30)]

= (−5) . [(−70) + (−30)]

= (−5) . (−100)

= 5 . 100

= 500.

4. Quan hệ chia hết và phép chia trong tập hợp số nguyên

Cho $�,�\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì

• Ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là a ⋮ b.

• Trong phép chia hết, dấu của thương hai số nguyên cũng giống như dấu của tích.

Ta gọi q là thương của phép chia a cho b, kí hiệu là a : b = q.

Ví dụ: Ta có: (−15) = 3 . (−5) nên ta nói:

• (−15) chia hết cho (−5);

• (−15) : (−5) = 3;

• 3 là thương của phép chia (−15) cho (−5).

5. Bội và ước của một số nguyên

Cho $�,�\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ . Nếu a ⋮ b thì ta nói a là bội của b là b là ước của a.

Ví dụ: Ta có (−15) ⋮ (−5) nên ta nói (−15) là bội của (−5) và (−5) là ước của (−15).

Nếu c vừa là ước của a, vừa là ước của b thì c cũng được gọi là ước chung của a và b.

Ví dụ: Vì 4 vừa là ước của 8 vừa là ước của 12 nên 4 là ước chung của 8 và 12.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính: 

a) (−3) . 8;

b) (−14) . (−25);

c) (+12) . (−40);

Hướng dẫn giải

a) (−3) . 8 = − (3 . 8) = − 24;

b) (−14) . (−25) = 14 . 25 = 350;

c) (+12) . (−40) = − (12 . 40) = −480.

Bài 2: Tìm x, biết:

30(x + 2) − 6(x − 5) − 22x = 100.

Hướng dẫn giải

30(x + 2) − 6(x − 5) − 22x = 100

(30x + 60) − (6x − 30) − 22x = 100

30x + 60 − 6x + 30 − 22x = 100

30x – 6x − 22x = 100 – 60 − 30

2x = 10

x = 5

Vậy x = 5.

Bài 4: Tìm số nguyên a để 5 ⋮ (a – 1).

Hướng dẫn giải

 Để 5 ⋮ (a – 1) ($�\in \mathrm{\mathbb{Z}}$) thì  a – 1 $\in$ Ư(5) = {−5; −1; 1; 5}.

Ta có bảng sau:

a – 1	−5	−1	1	5
a	− 4	0	2	6

Vậy để 5 ⋮ (a – 1) thì a $\in$ {− 4; 0; 2; 6}.

B. Trắc nghiệm Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án

Câu 1. Tính (−42).(−5) được kết quả là:

A. −210

B. 210

C. −47

D. 37

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Áp dụng quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu ta có:

(−42).(−5) = 42.5 = 210

Câu 2. Chọn câu sai.

A. (−5).25 = −125    

B. 6.(−15) = −90    

C. 125.(−20) = −250  

D. 225.(−18) = −4050

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án A: (−5).25 = −125 nên A đúng.

Đáp án B: 66.(−15) = −90 nên B đúng.

Đáp án C: 125.(−20) = −2500 ≠ −250 nên CC sai.

Đáp án D: 225.(−18) = −4050 nên D đúng.

Câu 3. Chọn câu đúng.

A. (−20).(−5) = −100

B. (−50).(−12) = 600

C. (−18).25 = −400   

D. 11.(−11) = −1111

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án A: (−20).(−5) = 100 nên A sai.

Đáp án B: (−50).(−12) = 600 nên B đúng.

Đáp án C: (−18).25 = −450 ≠ −400 nên C sai.

Đáp án D: 11.(−11) = −121 ≠ −1111 nên D sai.

Câu 4. Tích (−3).(−3).(−3).(−3).(−3).(−3).(−3) bằng

A. 38

B. −37

C. 37

D. (−3)8

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

(−3).(−3).(−3).(−3).(−3).(−3).(−3)

= (−3)7

= −37

Câu 5. Tính nhanh (−5).125.(−8).20.(−2) ta được kết quả là

A. −200000

B. −2000000

C. 200000

D. −100000

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

(−5).125.(−8).20.(−2)

= [125.(−8)].[(−5).20].(−2)

= −(125.8).[−(5.20)].(−2)

= (−1000).(−100).(−2)

= 100000.(−2)

= −200000

Câu 6. Chọn câu đúng.

A. (−23).(−16)  > 23.(−16)

B. (−23).(−16) = 23.(−16)

C. (−23).(−16) < 23.(−16)

D. (−23).16  > 23.(−6)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án A: 

(−23).(−16) > 23.(−16) đúng vì VT > 0, VP < 0

Đáp án B: 

(−23).(−16) = 23.(−16) sai vì VT > 0, VP < 0 nên VT ≠ VP

Đáp án C: 

(−23).(−16) < 23.(−16) sai vì VT > 0, VP < 0 nên VT > VP

Đáp án D:

(−23).16 > 23.(−6) sai vì: (−23).16 = −368 và 23.(−6) = −138

 mà −368 < −138 nên (−23).16 < 23.(−6)

Câu 7. Tính hợp lý A = −43.18 − 82.43 − 43.100

A. 0

B. −86000

C. −8600

D. −4300

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

A = −43.18 − 82.43 − 43.100

A = 43.(−18 – 82 − 100)

A = 43.[−(18 + 82 + 100)]

A = 43.(−200)

A = −8600

Câu 8. Cho Q = −135.17 − 121.17 − 256.(−17), chọn câu đúng.

A. −17

B. 0

C. 1700

D. −1700

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Q = −135.17 − 121.17 − 256.(−17)

Q = −135.17 − 121.17 + 256.17

Q = 17.(−135 – 121 + 256)

Q = 17.(−256 + 256)

Q = 17.0

Q = 0

Câu 9. Cho (−4).(x − 3) = 20. Tìm x:

A. 8

B. −5

C. −2

D. Một kết quả khác

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì (−4).(−5) = 4.5= 20 nên để (−4).(x−3) = 20 thì x – 3 = −5

Khi đó ta có:

x −3 = −5

x = −5 + 3

x = −2

Vậy x = −2.

Câu 10. Tìm x∈Z biết (1 − 3x)³  = −8.

A. x = 1

B. x = −1

C. x = −2

D. Không có x

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

(1−3x)³ = −8

(1−3x)³ = (−2)³

1 − 3x = −2

3x = 1 − (−2)

3x = 3

x = 3:3

x =1

Vậy x = 1