Lý thuyết Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm – Toán 11 Cánh diều

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm - Cánh diều

A. Lý thuyết Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

1. Định nghĩa

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng (a; b) và điểm $x_0\in \left(a;b\right)$.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại $x_0$ và được kí hiệu là $f^{\prime }\left(x_0\right)$ hoặc $y{x_o}_{\prime }^{}$.

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)$ của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại $x_0$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau:

Bước 1. Xét $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$ là số gia của biến số tại điểm $x_0$.

Tính $\mathrm{\Delta }y=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)$.

Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.

Bước 3. Tính $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.

Kết luận: Nếu $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=a$ thì $f^{\prime }\left(x_0\right)=a$.

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

- Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$.

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

Sơ đồ tư duy Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

B. Bài tập Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm